Summe + Indexverschiebung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hänge wieder am nachvollziehen einer Aufgabe aus meinem Übungsbuch:
Man berechne die Summe der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^{2}-1}
[/mm]
Der Gedanke, den die Autoren der Lösung hatten ist wohl, dass sie die Summe in zwei Summen teilen und diese subtrahieren sie dann und es fällt dann recht viel weg. Hier deren "Herleitung":
Für alle n [mm] \ge [/mm] 1 hat man die Zerlegung:
[mm] \frac{2}{4n^{2}-1} [/mm] = [mm] \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} [/mm] = [mm] \frac{1}{2n-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{2n+1}
[/mm]
Soweit ist alles klar. Dann machen die:
[mm] s_{k} [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{k} \frac{1}{4n^{2}-1}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{2}(\summe_{n=1}^{k} \frac{1}{2n-1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \frac{1}{2n+1})
[/mm]
Und den folgenden Schritt verstehe ich nicht:
= [mm] \frac{1}{2}(\summe_{n=0}^{k-1} \frac{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \summe_{n=1}^{k} \frac{1}{2n+1})
[/mm]
Dann ziehen die die Summen voneinander ab und man kann den Grenzwert ablesen. Diese Indexverschiebung ist mir allerdings noch ein Buch mit sieben Siegeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Mi 12.12.2007 | | Autor: | miamias |
Hallo
ich geh mal deiner Fragestellung nach davon aus dass du folgenden Schritt nicht verstehst:
[mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n-1}-\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(\summe_{n=0}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}-\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n+1}) [/mm]
Da ändert sich ja nur folgendes:
[mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{k-1}\bruch{1}{2n+1}
[/mm]
Um zu sehen, dass diese Gleichung passt betrachte mal das erste Glied: links: n=1 => [mm] \bruch{1}{2-1}=1; [/mm] rechts: n=0 => [mm] \bruch{1}{0+1} [/mm] =1, also passt.
Dann das 2. Glied:
links: n=2 => [mm] \bruch{1}{4-1}= \bruch{1}{3} [/mm] ; rechts: n=1 => [mm] \bruch{1}{2+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] also passt auch. Da kann man jetzt immer so weiter machen und dann betrachte noch das letzte Glied:
lnks: n=k => [mm] \bruch{1}{2k-1} [/mm] und rechts: n=k-1 => [mm] \bruch{1}{2(k-1)+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2k-1}
[/mm]
Also du siehst die einzelnen Glieder (Summanden) sind immer gleich daher sind auch die Reihen gleich.
Ich hoffe ich konnte dir die Indexverschiebung etwas näher bringen.
mfg
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Hmmm. Danke erstmal. Verstanden habe ich es noch nicht so ganz.
Wenn ich eine Indexverschiebung mache, dann gehe ich wie folgt vor:
[mm] \summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{2n-1} [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{k}\bruch{1}{2n-1}) [/mm] - (-1)
Die Summe fängt jetzt bei 0 an - damit alles stimmt muss ich den Fall für n = 0 wieder abziehen. Jetzt geht die Summe nicht bis k sondern bis k-1:
[mm] (\summe_{n=0}^{k-1}\bruch{1}{2n-1}) [/mm] - (-1) + [mm] \frac{1}{2k-1}
[/mm]
Habe den Fall für n=k "abgefangen" und korrigiert.
Aber das ist ja nicht das, was in der Lösung steht...
Ich schau mir das Ganze morgen nochmals an.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 12.12.2007 | | Autor: | miamias |
Hallo,
bei einer Indexverschiebung gibt es unter Anderem diese Möglichkeiten:
i.
Du verschiebst den Anfang und das Ende der Reihe und addierst bzw. subtrahierst die "fehlenden" bzw. "überschüssigen" Glieder.
ii.
Du verschiebst Anfang und Ende der Reihe und änderst dann alle Reihenglieder (also das was hinterm Summenzeichen steht). Falls du dies machst musst du dir überlegen,wie du diese abändern musst, sodass die einzelenen Glieder gleich sind. Also das erste Glied vor der Vershiebung muss gleich dem ersten Glied nach der Verschiebung sein. Das 2. Glied vor der Verschiebung gleich dem 2. Glied nach der Verschiebung, usw. Das letzte Glied vor der Verschiebung muss dann auch gleich dem letzten Glied nach der Verschiebung sein.
Hier wird die ii. Variante angewandt.
Ich hoffe jetzt verstehst du was ich meine.
mfg
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