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Summe / Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:40 Sa 26.05.2012
Autor: theresetom

Aufgabe
Untersuche die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz.
[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n! [mm] *(1/n)^n [/mm]


[mm] \sum_{n=1}^\infty [/mm] n! [mm] *(1/n)^n [/mm]
Quotientenkriterium:
[mm] |\frac{(n+1)!*(\frac{1}{n+1})^{n+1}}{n!*(\frac{1}{n})^n}|= |\frac{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}} [/mm] |= [mm] |\frac{n^n}{(n+1)^n}|= (\frac{n}{(n+1)})^n [/mm]

[mm] lim_{n->\infty} (\frac{n}{n+1})^n =\frac{lim_{n->\infty} n^n}{lim_{n->\infty}(n+1)^n} [/mm]
Da weiß ich nicht wie ich den limes ausrechne

Wurzelkriterium
[mm] \sqrt{|n!*(1/n)^n|} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{n!}}{n} [/mm]
Hier kann ich auch den limes nicht  so recht bestimmen.


        
Bezug
Summe / Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:00 Sa 26.05.2012
Autor: reverend

Hallo theresetom,

die Reihen zur e-Funktion kennst Du doch, oder?

> Untersuche die Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz.
>  [mm]\sum_{n=1}^\infty[/mm] n! [mm]*(1/n)^n[/mm]
>  Quotientenkriterium:
>  [mm]|\frac{(n+1)!*(\frac{1}{n+1})^{n+1}}{n!*(\frac{1}{n})^n}|= |\frac{(n+1)*n^n}{(n+1)^{n+1}}[/mm]
> |= [mm]|\frac{n^n}{(n+1)^n}|= (\frac{n}{(n+1)})^n[/mm]

[mm] =\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^n [/mm]

Kommt Dir das bekannt vor?

> [mm]lim_{n->\infty} (\frac{n}{n+1})^n =\frac{lim_{n->\infty} n^n}{lim_{n->\infty}(n+1)^n}[/mm]
>  
> Da weiß ich nicht wie ich den limes ausrechne
>  
> Wurzelkriterium
>  [mm]\sqrt{|n!*(1/n)^n|}[/mm] = [mm]\frac{\sqrt{n!}}{n}[/mm]
> Hier kann ich auch den limes nicht  so recht bestimmen.

Wundert mich nicht.

Gute Nacht!
reverend



Bezug
        
Bezug
Summe / Konvergenz: umformen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:24 Sa 26.05.2012
Autor: Loddar

Hallo theresetom!


Bedenke, dass gilt:  [mm]\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n \ = \ \bruch{1}{\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n} \ = \ \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}[/mm]

Hilft das weiter? Wie lautet hier der Grenzwert für [mm]n\rightarrow\infty[/mm] ? Ist das größer oder kleiner als 1?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Summe / Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:37 Sa 26.05.2012
Autor: theresetom

danke , also konvergent ;)

Bezug
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