Summe Kubikzahlen berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:14 Mo 08.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Formel [mm] $\summe_{k=1}^{n}k^3$ [/mm] mithilfe der Kenntnis
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}$
[/mm]
und dem Zusammenhang:
[mm] $(n+1)^4=\summe_{k=1}^{n+1}k^4 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}k^4$ [/mm] |
Hallo,
ich versuche gerade diese Aufgabe zu lösen, habe aber überhaupt keinen Ansatz. Indextransformation bekomme ich nicht hin. Ich habe keine Ahnung, wie man die erste Formel mit der zweiten in Verbindung setzen kann.
Der letzte oben aufgeführte Zusammenhang ist ja quasi eine Abspaltung. Ich habe versucht [mm] $(n+1)^4$ [/mm] als [mm] $(n+1)^3(n+1)$ [/mm] darzustellen. Aber so komme ich auch nicht weiter.
Ich möchte gar nicht die Lösung haben, sondern gerne nur einen Tip, wie ich anfangen kann.
Danke und Grüße,
Barney
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Indextransformation bekomme ich nicht hin.
Das ist hier allerdings unbedingt erforderlich, denn das ist der Kernpunkt der Überlegungen.
Beide Summen [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^4 [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{n}i^4 [/mm] sollen als Summen der Form [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] dargestellt werden.
In der ersten Summe sind (siehe Summenzeichen) die k-Werte offenbar immer um 1 kleiner als die i-Werte. Wie muss also der Term unter der Summe verändert werden um das auszugleichen ? (Beachte insbesondere, dass der erste und der letzte Summand, nämlich [mm] 1^4 [/mm] und [mm] (n+1)^4 [/mm] vorher und hinterher gleich sein müssen.)
Bei der zweiten Summe kommt lediglich ein Summand hinzu, nämlich der für k=0. Wie groß ist der ? Was müssen wir also wieder abziehen ?
Wenn du so weit gekommen bist, löse die Klammer in der ersten Summe auf, fasse zusammen und schau mal, ob du dem, was du eigentlich erreichen willst nicht schon ein gutes Stück näher gekommen bist.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 08.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
Hallo Sax,
danke erstmal für deine Antwort. Leider werde ich daraus nicht schlau. Es gibt drei Dinge, die dafür die Ursache sein könnten:
1. Ist es vielleicht ein Missverständnis? Ich bin dummerweise ein bisschen durcheinandergekommen mit den i's und k's. Es soll natürlich nur einen Index = k geben. Ich habe es in dem ersten Thread korrigiert.
2. Es ist doch egal, ob die Summe bei $k=0$ oder bei $1$ anfängt. Bei allen Summen ist doch für $k=0$ das Ergebnis $0$ und ändert somit nichts am Gesamtergebnis. Indextramsformation ist bei der letztem Formel nicht das Problem. Allerdings scheint es mir bei den ersten beiden nicht möglich.
3. Oder ich habe irgendetwas grundlegendes nicht verstanden und sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht.... ?
Grüße,
Barney
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Hallo BarneyS,
bitte stelle eine Frage, auf die Du bereits eine Antwort bekommen hast, nicht auf "unbeantwortet" zurück. Das ist ziemlich unfreundlich. Du hattest doch um einen Tipp gebeten, wie Du da herangehen sollst, und Sax hat Dir einen gegeben. Bloß, weil Du den nicht unmittelbar verstehst, ist die Frage doch trotzdem nicht unbeantwortet, und du hast - ganz richtig - dann eben eine Rückfrage gestellt.
Ich gebe Dir trotzdem einen eng verwandten Tipp:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^4=n^4+\summe_{k=1}^{n}(k-1)^4=n^4+\summe_{k=1}^{n}(k^4-4k^3+6k^2-4k+1)=n^4+\left(\summe_{k=1}^{n}k^4\right)-4\left(\summe_{k=1}^{n}k^3\right)+6\left(\summe_{k=1}^{n}k^2\right)-4\left(\summe_{k=1}^{n}k\right)+n
[/mm]
Mit der dritten Formel Deiner Aufgabenstellung funktioniert das natürlich genauso gut, und auch mit dem gleichen Ergebnis. Das Prinzip ist das gleiche.
Betrachte mal die ganz linke und die ganz rechte Seite der Gleichungskette. Was ist jetzt bekannt und was unbekannt?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mo 08.11.2010 | | Autor: | BarneyS |
Hallo reverend,
es war keineswegs unfreundlich gemient. Ich habe ja geschrieben, dass es sein kann, dass ich es einfach nicht verstanden habe. Und ich wollte zusätzlich alle möglichen Missverständnisse aus dem Weg räumen.
Danke für deinen Tip. Das war wirklich der zündende Gedanke und jetzt verstehe ich auch, was Sax meinte.
(Ich hätte nicht gedacht, dass es als unfreundlich erachtet wird. Kommt nicht wieder vor.)
Danke für die Hilfe!
Barney
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