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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Jaykop |
Hallo,
ich hab hier folgende Aufgabe:
Berechne:
[mm] 1^3 + 2^3 + 3^3 +...+ 20^3 [/mm]
als erstes habe ich die Summe hingeschrieben:
[mm] \sum_{k=1}^{20} k^3 [/mm]
und dann hab ich folgendes ausprobiert:
[mm] \sum_{k=1}^{20} k * \sum_{k=1}^{20} k * \sum_{k=1}^{20} k[/mm]
ist aber fehlgeschlagen, als nächstes versuchte ich
[mm] \sum_{k=1}^{20} k * \sum_{k=1}^{20} k [/mm]
und zu meinem erstaunen hat es funktioniert!
nach Gauß [mm] \sum_{k=1}^{n} k = \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm]
ergab sich:
[mm] \sum_{k=1}^{20} k * \sum_{k=1}^{20} k = \left( \bruch{20*(20+1)}{2} \right)^2 [/mm]
wenn ich nun n=20 einsetzte hab ich zwar die richtige lösung(44100), aber ich weis nicht wie ich von
[mm] \sum_{k=1}^{20} k^3 [/mm]
nach
[mm] \sum_{k=1}^{20} k * \sum_{k=1}^{20} k [/mm]
komme...
könnte mir das jemand bitte erklären.
Danke
Gruß Jaykop
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 18.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Jaykop
das ist ein glückstreffer den du gelandet hast!
im allgemeinen darf man summen nicht so auseinander ziehen wie du das gemacht hast. betrachte z.b. [m] (1^3 + 2^3+3^3) = 36 \not= (1+2+3)(1+2+3)(1+2+3) = 18 [/m].
jedoch stimmt die formel die du angegeben hast:
[m] \sum_{k=1}^n k^3 \stackrel{(\star)}{=} \left( \sum_{k=1}^n k \right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} [/m].
die gleichung [m] (\star)[/m] kann man meines wissens einfach mit vollständiger induktion zeigen.
frage nach, wenn noch etwas unklar ist.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mo 18.10.2004 | | Autor: | Jaykop |
Hallo Andreas,
vielen dank für die schnelle Antwort.
Eigentlich hatte ich gedacht das es irgendeine Formel oder Rechenregel dafür gibt :/
trotzdem danke
Gruß
Jaykop
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