Summe Reihe Teleskop < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Ich möchte die summe der folgenden Reihe berechenn:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\n}\bruch{1}{(3k-1)*(3k+2}
[/mm]
Zuerst hab ich mal die Partialbruchzerlegung gemacht.Und erhale:
[mm] s_{n}=1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3k+2})
[/mm]
nun forme ich um:
[mm] 1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1} [/mm] - [mm] \summe_{k=4}^{n+3}\bruch{1}{3k+2})= 1/3*(\bruch{1}{2}+ \bruch{1}{5} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \summe_{k=4}^{n} \bruch{1}{3k-1} [/mm] - [mm] (\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{3k+2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3n-1} +\bruch{1}{3n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3n+1})=...
[/mm]
leider kommt nach dem wegstreiche nicht das richtige ergebnis 1/6 heraus. wo liegt mein fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo nero08!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\n}\bruch{1}{(3k-1)*(3k+2}[/mm]
Da fehlt aber noch ein [mm]n_[/mm] auf dem Summenzeichen.
> Zuerst hab ich mal die Partialbruchzerlegung gemacht. Und erhalte:
>
> [mm]s_{n}=1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] - [mm]%255Cbruch%257B1%257D%257B3k%252B2%257D)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> nun forme ich um:
>
> [mm]1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] - [mm]%255Csumme_%257Bk%253D4%257D%255E%257Bn%252B3%257D%255Cbruch%257B1%257D%257B3k%252B2%257D)%253D%25201%252F3*(%255Cbruch%257B1%257D%257B2%257D%252B%2520%255Cbruch%257B1%257D%257B5%257D[/mm] + [mm]\bruch{1}{8}[/mm] + [mm]%255Csumme_%257Bk%253D4%257D%255E%257Bn%257D%2520%255Cbruch%257B1%257D%257B3k-1%257D[/mm] - [mm](\summe_{k=4}^{n}\bruch{1}{3k+2}[/mm] + [mm]%255Cbruch%257B1%257D%257B3n-1%257D%2520%252B%255Cbruch%257B1%257D%257B3n%257D[/mm] + [mm]\bruch{1}{3n+1})=...[/mm]
Ich muss gestehen, Deiner Umformung kann ich nicht ganz folgen.
Es gilt doch:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{\bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2}\right) \ = \ \underbrace{\bruch{1}{2} \ \red{-\bruch{1}{5}}}_{k=1} \ + \ \underbrace{\red{\bruch{1}{5}} \ \green{-\bruch{1}{8}}}_{k=2} \ + \ \underbrace{\green{\bruch{1}{8}} \ \blue{-\bruch{1}{11}}}_{k=3} \ + \ ... \ + \bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2} [/mm]
Nach dem Zusammenfassen und der Grenzwertbetrachtung [mm]n\rightarrow\infty[/mm] verbleibt hier der Term [mm]\bruch{1}{2}[/mm] , und dies multipliziert mit [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus der Partialbruchzerlegung ergibt das gewünschte Ergebnis.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo nero08!
>
>
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\n}\bruch{1}{(3k-1)*(3k+2}[/mm]
>
> Da fehlt aber noch ein [mm]n_[/mm] auf dem Summenzeichen.
>
okay hat wohl latex geschluckt ;)
>
> > Zuerst hab ich mal die Partialbruchzerlegung gemacht.Und
> erhalte:
> >
> > [mm]s_{n}=1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] -
> [mm]%255Cbruch%257B1%257D%257B3k%252B2%257D)[/mm]
>
>
>
>
> > nun forme ich um:
> >
> > [mm]1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] -
>
>
> Ich muss gestehen, Deiner Umformung kann ich nicht ganz
> folgen.
naja ich wandle [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3k+2} [/mm] so um, dass ich [mm] \summe_{k=4}^{n+3} \bruch{1}{3k-1} [/mm] habe, um anschleißend die beiden summen "wegstreichen" zu können.
nun muss ich auch
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3k-1} [/mm] umwandeln dazu hebe ich ich drei summanden raus sodass der index auch bei 4 startet also 1/2 +1/5 + 1/8 [mm] \summe_{k=4}^{n} \bruch{1}{3k-1}
[/mm]
bei der anderen summe hebe ich nun noch 1/k-1 + 1/k + 1/k+1 heraus damit die summe auch bis zum index n läuft.
nun kann ich streichen bzw. gehen brüche gegen 0.
Es beleibt also 1/3*(1/2 +1/5 + 1/8) übrig was aber flasch ist.
wo liegt der fehler?
>
> Es gilt doch:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{\bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2}\right)[/mm]
>
>
> Nach dem Zusammenfassen und der Grenzwertbetrachtung
> [mm]n\rightarrow\infty[/mm] verbleibt hier der Term [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ,
> und dies multipliziert mit [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus der
> Partialbruchzerlegung ergibt das gewünschte Ergebnis.
das sehe ich nicht so schnell. was machst du da?
>
>
> Gruß
> Loddar
danke!
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 20.04.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo nero08!
> >
> >
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{\n}\bruch{1}{(3k-1)*(3k+2}[/mm]
> >
> > Da fehlt aber noch ein [mm]n_[/mm] auf dem Summenzeichen.
> >
> okay hat wohl latex geschluckt ;)
> >
> > > Zuerst hab ich mal die Partialbruchzerlegung gemacht.Und
> > erhalte:
> > >
> > > [mm]s_{n}=1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] -
> > [mm]%25255Cbruch%25257B1%25257D%25257B3k%25252B2%25257D)[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > > nun forme ich um:
> > >
> > > [mm]1/3*(\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{3k-1}[/mm] -
> >
> >
> > Ich muss gestehen, Deiner Umformung kann ich nicht ganz
> > folgen.
>
> naja ich wandle [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3k+2}[/mm] so um,
> dass ich [mm]%5Csumme_%7Bk%3D4%7D%5E%7Bn%2B3%7D%20%5Cbruch%7B1%7D%7B3k-1%7D[/mm] habe, um
> anschleißend die beiden summen "wegstreichen" zu können.
>
> nun muss ich auch
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{3k-1}[/mm] umwandeln dazu hebe ich
> ich drei summanden raus sodass der index auch bei 4 startet
> also 1/2 +1/5 + 1/8 [mm]\summe_{k=4}^{n} \bruch{1}{3k-1}[/mm]
>
> bei der anderen summe hebe ich nun noch 1/k-1 + 1/k + 1/k+1
> heraus damit die summe auch bis zum index n läuft.
>
> nun kann ich streichen bzw. gehen brüche gegen 0.
>
> Es beleibt also 1/3*(1/2 +1/5 + 1/8) übrig was aber flasch
> ist.
>
> wo liegt der fehler?
Hallo,
die meisten Summanden beider Reihen (bis auf ganz wenige) löschen sich gegenseitig aus. Dann dürfen aber am Ende nicht nur die ersten drei Summanden der einen Reihe übrig bleiben. Es müssen auch die letzten drei Summanden der anderen Reihe noch vorhanden sein.
Gruß Abakus
> >
> > Es gilt doch:
> >
> >
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{\bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2}\right)[/mm]
> >
>
> >
> > Nach dem Zusammenfassen und der Grenzwertbetrachtung
> > [mm]n\rightarrow\infty[/mm] verbleibt hier der Term [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ,
> > und dies multipliziert mit [mm]\bruch{1}{3}[/mm] aus der
> > Partialbruchzerlegung ergibt das gewünschte Ergebnis.
>
> das sehe ich nicht so schnell. was machst du da?
> >
> >
> > Gruß
> > Loddar
> danke!
>
> lg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
ja okay, aber ich hab doch 1/k-1 + 1/k + 1/k+1 angegeben und die fallen dann wenn n gegen unendlich geht weg?
|
|
|
| |
|
Hallo Nero,
was Du da mit den Summen treibst, ist falsch. Bei der Notation mit dem Summenzeichen gibt es (anders als in den meisten Programmiersprachen) keine festzulegende Schrittweite. Sie ist immer 1. Darum geht Deine Rechnung auch nicht auf.
Halten wir mal folgendes fest:
[mm] \bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2}=\bruch{1}{3*k-1}-\bruch{1}{3*(k+1)-1}
[/mm]
Dann ist [mm] \summe_{k=a}^{b}\left(\bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3(k+1)-1}\right)=\summe_{k=a}^{b}\bruch{1}{3k-1}-\summe_{k=a}^{b}\bruch{1}{3(k+1)-1}=\summe_{k=a}^{b}\bruch{1}{3k-1}-\summe_{\blue{k=a+1}}^{\blue{b+1}}\bruch{1}{3k-1}=\bruch{1}{3a-1}-\bruch{1}{3(b+1)-1}
[/mm]
Beachte die blau markierte Indexverschiebung im vorletzten Schritt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
aha okay, dass wusste ich nicht. wie würde es bei deiner variante jetzt weitergehen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> aha okay, dass wusste ich nicht. wie würde es bei deiner
> variante jetzt weitergehen?
Na, das steht doch schon alles da!
Bei dir ist [mm]a=1[/mm] und [mm]b=n[/mm]
Mit der von reverend vorgeführten Indexverschiebung heben sich in beiden Summen alle Terme für [mm]k=2,...,n[/mm] weg.
Es blieben lediglich der erste Term der ersten Summe (der für [mm]\red{k=1}[/mm]) und der letzte Term der zweiten Summe (also den für [mm]\blue{k=n+1}[/mm])
Konkret bleibt also [mm]\frac{1}{3\cdot{}\red 1-1}-\frac{3\cdot{}\blue{(n+1)}-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}[/mm]
Dsa ist der ganze karge Rest dieser Teleskop-Partialsumme.
Nun noch [mm]n\to\infty[/mm] und du hast den Reihenwert, denn [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k[/mm]
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
okay is jetzt klar... danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo Nero,
>
> was Du da mit den Summen treibst, ist falsch. Bei der
> Notation mit dem Summenzeichen gibt es (anders als in den
> meisten Programmiersprachen) keine festzulegende
> Schrittweite. Sie ist immer 1. Darum geht Deine Rechnung
> auch nicht auf.
>
okay, da muss ich doch nochmal nachfragen, denn bei der übung hatten wir auch sicher öfters größere schrittweiten. bist du dir da sicher?
> Grüße
> reverend
lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ja, da bin ich sicher.
> > was Du da mit den Summen treibst, ist falsch. Bei der
> > Notation mit dem Summenzeichen gibt es (anders als in den
> > meisten Programmiersprachen) keine festzulegende
> > Schrittweite. Sie ist immer 1. Darum geht Deine Rechnung
> > auch nicht auf.
> >
> okay, da muss ich doch nochmal nachfragen, denn bei der
> übung hatten wir auch sicher öfters größere
> schrittweiten. bist du dir da sicher?
Größere Schrittweiten bei Summen sind kein Problem. Wenn ich z.B. irgendeine Funktion (Folge oder was auch immer) über die Werte 1,5,9,13,17 etc. summieren will, dann liegen die offenbar immer um 4 auseinander.
Die Summe schreibt sich in diesem Fall also irgendwie
[mm] \summe_{k=0}^{?}f(4k+1) [/mm] oder [mm] \summe_{k=1}^{?}f(4k-3) [/mm] etc.
Die Schrittweite wird also in den zu summierenden Term gezogen. Das ist die normale Schreibweise. Inzwischen auch gebräuchlich, aber seltener, ist eine Schreibweise wie diese:
[mm] \summe_{k=4m+1, m\in\IN}f(k)
[/mm]
Hier steht die Schrittweite im Index verborgen; manche würden sogar die Angabe [mm] m\in\IN [/mm] weglassen, vielleicht aus Platzgründen? 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> das sehe ich nicht so schnell. was machst du da?
Hier hatte es mir den Formeleditor zerschossen. Ich habe es oben nunmehr korrigiert.
Ansonsten hier nochmal:
[mm]\summe_{k=1}^{n}\left(\bruch{\bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2}\right) \ = \ \underbrace{\bruch{1}{2} \ \red{-\bruch{1}{5}}}_{k=1} \ + \ \underbrace{\red{\bruch{1}{5}} \ \green{-\bruch{1}{8}}}_{k=2} \ + \ \underbrace{\green{\bruch{1}{8}} \ \blue{-\bruch{1}{11}}}_{k=3} \ + \ ... \ + \bruch{1}{3k-1}-\bruch{1}{3k+2} [/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Sa 20.04.2013 | | Autor: | nero08 |
ah so ist es klar danke!
|
|
|
|
