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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{k (k+1)} [/mm] = 1 |
Hallo,
ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Summe berechnen kann. Ich könnte die harmonische Reihe ausklammern, aber wirklich weiter bringt mich das nicht
Dankeschön
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Christian und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Beweisen Sie, dass gilt:
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> [mm] $\summe^{\infty}_{\red{k}=1} \bruch{1}{k (k+1)} [/mm] = 1$
> Hallo,
>
> ich habe leider keine Ahnung, wie ich diese Summe berechnen
> kann. Ich könnte die harmonische Reihe ausklammern, aber
> wirklich weiter bringt mich das nicht
Stimmt 
Ein besserer Ansatz ist eine Partialbruchzerlegung.
Ansatz: [mm] $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}}_{=:S_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}\right)}_{=S_n}$ [/mm] ist
Stelle also mal eine solche n-te Partialsumme auf, das gibt eine schöne Teleskopsumme, in der sich das meiste weghebt.
Dann berechne deren GW für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du solltest auf den Reihenwert 1 kommen.
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> Dankeschön
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] |
Danke schonmal für deinen Hinweis.
Ich habe die Zerlegung durchgeführt (siehe oben).
Aber bringt mich das weiter? Auseinanderziehen bringt ja nichts. Die harmonische Reihe divergiert ja.
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aaah ok
und jetzt muss ich nur noch den Grenzwert meiner PArtialsumme berechnen?
1/k geht natürlich gegen null und der andere Summand gegen 1. dann hätt ich es ja...
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Hallo nochmal,
> aaah ok
> und jetzt muss ich nur noch den Grenzwert meiner
> PArtialsumme berechnen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1/k geht natürlich gegen null und der andere Summand
> gegen 1. dann hätt ich es ja...
Nein, Unsinn, du musst doch erstmal eine solche Partialsumme [mm] S_n [/mm] aufstellen:
[mm] $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$
[/mm]
[mm] $=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+....+\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
[/mm]
Du siehst, es hebt sich immer der zweite Summand einer Klammer gegen den ersten Summanden der nächsten Klammer weg, das ist also eine "nette" Teleskopsumme.
Es bleibt: [mm] $=1-\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen $1-0=1$
LG
schachuzipus
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asooo. dankeschön. jetzt hab ich` s. da muss man erstmal draufkommen ;)
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