Summe der Reihe 1/n > 1000 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben sie eine Zahl N an, für die [mm] \summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{n} [/mm] > 1000 gilt und eine Zehnerpotenz ist. |
Ich habe mich bei dem Finden einer solchen Zahl auf unsere in der Vorlesung besprochene Herleitung für die Divergenz, aufgrund der ja überhaupt eine solche Zahl existiert, dieser Folge gestützt:
Summe von 1/n=1+1/2+1/3+1/4...<1+1/2+1/4+1/4+1/8+..., sodass es immer endlich viele Terme gibt, die 1/2 ergeben..
In diesem Fall bräuchte man aber 2+2^1996 solcher Terme - das könnte ich sicherlich ausrechnen und gegen eine Zehnerpotenz abschätzen, aber ich bin der Überzeugung, dass es einen Weg gibt, der kürzer ist und weniger Terme beansprucht. Wäre dankbar für Ideen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Geben sie eine Zahl N an, für die [mm]\summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{n}[/mm]
> > 1000 gilt und eine Zehnerpotenz ist.
Hallo,
bitte überprüfe deine Frage.
Soll es tatsächlich so sein, dass DIE ANGEGEBENE SUMME eine Zehnerpotenz ist?
Das würde ich mal ganz spontan für unmöglich haltem, dass diese Summe für n>1 überhaupt noch eine natürliche Zahl (geschweige denn eine Zehnerpotenz) ist.
Oder soll vielmehr N eine Zehnerpotenz sein?
Gruß Abakus
> Ich habe mich bei dem Finden einer solchen Zahl auf unsere
> in der Vorlesung besprochene Herleitung für die Divergenz,
> aufgrund der ja überhaupt eine solche Zahl existiert,
> dieser Folge gestützt:
>
> Summe von 1/n=1+1/2+1/3+1/4...<1+1/2+1/4+1/4+1/8+...,
> sodass es immer endlich viele Terme gibt, die 1/2
> ergeben..
>
> In diesem Fall bräuchte man aber 2+2^1996 solcher Terme -
> das könnte ich sicherlich ausrechnen und gegen eine
> Zehnerpotenz abschätzen, aber ich bin der Überzeugung, dass
> es einen Weg gibt, der kürzer ist und weniger Terme
> beansprucht. Wäre dankbar für Ideen.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 17.05.2009 | | Autor: | Vicarious |
Meines Erachtens ist die Aufgabe unmissverständlich und kann allenfalls aufgrund mangelnder Grammatikkenntnisse nicht verstanden werden. Sie stand so auch wortwörtlich auf dem Übungszettel.
Ich lasse noch einmal die Aufgabenstellung Revue passieren und hebe hervor, was deutlich macht, wo die grammatikalischen Bezüge sind:
Geben Sie EINE ZAHL N an, FÜR DIE [mm] \summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{n} [/mm] > 1000 GILT und die (nämlich die Zahl N) eine Zehnerpotenz ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 So 17.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Meines Erachtens ist die Aufgabe unmissverständlich und
> kann allenfalls aufgrund mangelnder Grammatikkenntnisse
> nicht verstanden werden. Sie stand so auch wortwörtlich auf
> dem Übungszettel.
>
> Ich lasse noch einmal die Aufgabenstellung Revue passieren
> und hebe hervor, was deutlich macht, wo die
> grammatikalischen Bezüge sind:
>
> Geben Sie EINE ZAHL N an, FÜR DIE [mm]\summe_{n=1}^{N} \bruch{1}{n}[/mm]
> > 1000 GILT und die (nämlich die Zahl N) eine Zehnerpotenz
Hallo,
und genau das Wort "die" vor deinem Einschub "(nämlich die Zahl N)" hatte in deinem ersten Post gefehlt 
Du wirst nicht umhin kommen, die Abschätzung zu verwenden.
1000 sind 2000 Halbe. Um diese zu erhalten, brauchst du 1 Ganzes und 1 Halbes und 2 Viertel und 4 Achtel und ...
Das eine Ganze liefert bereits 2 Halbe, die restlichen 1998 Halben hast du mir Sicherheit mit [mm] 1+2+4+...+2^{1997} [/mm] Summanden.
Hier kommst du mit der Summe einer geometrischen Reihe weiter.
Wenn dir das zu grob ist, solltest du verwenden, dass die angegebene Summe eine Untersumme für ein Integral unter der Funktion y=1/x ist. Mit einer Rechtsverschiebung aller Summanden um eine Einheit machst du daraus eine Obersumme und kannst die Summe über das bestimmte Integral (mit der Stammfunktion ln x) abschätzen.
Gruß Abakus
> ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Mo 18.05.2009 | | Autor: | Vicarious |
Das neue 'die' ist auch ein hinzugefügter Einschub von mir. Grammatikalisch macht es allein durch das "für die" Sinn, aber wie auch immer: Danke für die Auseinandersetzung mit der Thematik überhaupt. ; )
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 So 17.05.2009 | | Autor: | Vicarious |
Ich verstehe auch nicht recht, weshalb nach diesem die Grammatik missbilligendem Kommentar auch noch die Frage als beantwortet erscheint. Neben diesem Kommentar wurde nämlich nichts beigetragen..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Mo 18.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht helfen Dir folgende Tipps:
Sei [mm] $s_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k} [/mm] $
Zeige induktiv: [mm] $s_{2^n} [/mm] > [mm] \bruch{n}{2}$
[/mm]
Dann ist z.B [mm] .s_{2^{2000}} [/mm] > 1000
Ist $k [mm] \ge 2000*log_{10}(2)$ [/mm] und N:= [mm] 10^k [/mm] , so ist [mm] S_N [/mm] > 1000
FRED
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