Summe einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:56 Do 23.09.2010 | | Autor: | JoHei86 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Reihen:
...
$\sum_{k=1}^{\infty}k*p*(1-p)^k$, wobei $p\in(0,1)$ |
Hallo liebe Nachhelfer,
leider kann ich bei der mir hier gestellten Aufgabe nicht mehr fragen als ein plumpes "wie mache ich das"?. Ich meine, ich habe bereits $p$ als Faktor nach vorne gezogen und mithilfe des Quotientenkriteriums zeigen können, dass die Summe absolut konvergent ist (mit $lim_{n->\infty} \frac{(n+1)*p*(1-p)^{n+1}}{n*p*(1-p)^n}} = (1-p)$) und über Wolfram Alpha mir bereits einmal anzeigen lassen, dass die Summe anscheinend gegen $-1+\frac{1}{p}$ konvergiert, nur leider habe ich hier akut keine Ahnung, wie ich das ausrechnen kann. Hat vielleicht irgendjemand einen Tipp für mich? (Muss ja auch nicht mehr um diese späte Uhrzeit sein ;))
Viele Grüße
Jonas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:14 Do 23.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Jonas!
> Berechnen Sie die Grenzwerte folgender Reihen:
> ...
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}k*p*(1-p)^k[/mm], wobei [mm]p\in(0,1)[/mm]
Klammer $p (1 - p)$ aus, und substituiere $x := 1 - p$, dann bleibt die Ableitung einer recht bekannten Reihe uebrig.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit: Setze q:=1-p. Mit Hilfe des Cauchyproduktes ist:
[mm] $\bruch{1}{(1-q)^2}= (\summe_{n=0}^{\infty}q^n)^2= \summe_{n=0}^{\infty}(n+1)q^n=\summe_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Fr 24.09.2010 | | Autor: | JoHei86 |
Hallo Felix und Fred,
falls ihr das hier lesen solltet: Vielen Dank für eure Hilfe! Ich habe Felix' Methode benutzt und nun folgendes heraus bekommen (für Nachleser):
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}{kp(1-p)^k} [/mm] = [mm] p(1-p)*\sum_{k=1}^{\infty}{k(1-p)^{k-1}} [/mm] =^{x:=(1-p)} [mm] px*\sum_{k=1}^{\infty}{kx^{k-1}} [/mm] = [mm] px*\frac{d}{dx}(\sum_{k=1}^{\infty}{x^k}) [/mm] = [mm] px*\frac{d}{dx}(\frac{-x}{x-1}) [/mm] = [mm] \frac{px}{(x-1)^2} [/mm] =^{Resubst.} [mm] \frac{p(1-p)}{p^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{p} [/mm] - 1$.
Schöne Grüße
Jonas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:18 Fr 24.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Jonas!
> falls ihr das hier lesen solltet: Vielen Dank für eure
> Hilfe! Ich habe Felix' Methode benutzt und nun folgendes
> heraus bekommen (für Nachleser):
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}{kp(1-p)^k} = p(1-p)*\sum_{k=1}^{\infty}{k(1-p)^{k-1}} =^{x:=(1-p)} px*\sum_{k=1}^{\infty}{kx^{k-1}} = px*\frac{d}{dx}(\sum_{k=1}^{\infty}{x^k}) = px*\frac{d}{dx}(\frac{-x}{x-1}) = \frac{px}{(x-1)^2} =^{Resubst.} \frac{p(1-p)}{p^2} = \frac{1}{p} - 1[/mm].
Es ist uebrigens ein kleines bisschen einfacher, wenn du die Reihe zu [mm] $\sum_{k=0}^\infty$ [/mm] erweiterst -- das Folgenglied $k = 0$ schadet nicht, da es beim Ableiten wegfaellt, allerdings hast du dann die Funktion [mm] $\frac{1}{1 - x}$ [/mm] abzuleiten und nicht [mm] $\frac{x}{1 - x}$, [/mm] was das Ableiten ein kleines wenig einfacher gestaltet 
LG Felix
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