Summe einer konvergenten Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Sa 21.04.2007 | | Autor: | diet |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die summe s der konvergenten reihe |
kann mir bitte jemand erklären, wie ich bei oben gennanter aufgabenstellung vorgehe? bin für jede hilfe dankbar.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2+3^{n+1}}{5^{n}}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Sa 21.04.2007 | | Autor: | ardik |
Hallo diet,
der Trick liegt darin, den Ausdruck so umzuformen, dass nur noch simple bekannte Regeln anzuwenen sind.
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{2+3^{n+1}}{5^{n}}[/mm]
[mm]= \summe_{n=0}^{\infty} \left(\bruch{1}{5}\right)^{n}\left(2+3^{n\green{+1}}\right)[/mm]
$= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \left(2*\left(\bruch{1}{5}\right)^n+\left(\bruch{1}{5}\right)^n*3^n\green{*3^1}\right)$
[/mm]
$= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} 2*\left(\bruch{1}{5}\right)^n [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \green{3*}\left(\bruch{3}{5}\right)^n$
[/mm]
Die 2 bzw. die 3 kannst Du vor die Summe schreiben (nämlich letztlich Ausklammern) und es verbleiben zwei geometrische Reihen für die man die Formel kennen sollte (oder in der Formelsammlung nachschlägt...  ).
Schöne Grüße
ardik
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