Summe iid ZVen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:19 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Bappi |
| Aufgabe | Hallo! Ich habe eine kleine Aufgabe:
Es seien [mm] $(X_n)_{n\in\mathbb N}$ [/mm] iid Zufallsvariablen in [mm] $L^1$. [/mm] Definiere
[mm] $S_n [/mm] := [mm] \sum_{j=0}^n X_j, \quad \mathcal S_n:=\sigma(S_n, S_{n+1}, S_{n+2},\cdots).$
[/mm]
Zeige:
(a) [mm] $\mathcal S_n [/mm] = [mm] \sigma(S_n, X_{n+1},X_{n+2},\cdots)$, [/mm] es genügt [mm] ($\sigma(S_n,S_{n+1})=\sigma(S_n,X_{n+1})$ [/mm] zu zeigen.)
(b) [mm] $\mathbb E(X_1\mid \mathcal S_n) [/mm] = [mm] \mathbb E(X_1\mid S_n)$
[/mm]
(c) [mm] $\mathbb E(X_1\textbf 1_B(S_n)) [/mm] = [mm] \mathbb E(X_j\textbf 1_B(S_n))\quad \forall j=1,\cdots, [/mm] n [mm] \forall [/mm] B [mm] \text{ Borelsch}$
[/mm]
(d) [mm] $\mathbb E(X_j\mid S_n) [/mm] = [mm] \frac{S_n}{n}\quad \forall j=1,\cdots, [/mm] n$ |
(a) Fehlt mir komplett der Ansatz.
(b) Da [mm] $X_1$ [/mm] unabhängig von allen [mm] $X_j$ [/mm] folgt mit den Eigenschaften der bedingten Erwartung:
[mm] $\mathbb E(X_1\mid\mathcal S_n)=\mathbb E(X_1\mid \sigma(S_n, X_{n+1},\cdots)) [/mm] = [mm] \mathbb E(X_1\mid \sigma(S_n)) [/mm] = [mm] \mathbb E(X_1 \mid S_n).$
[/mm]
(c) folgt dies nicht automatisch daraus, dass die ZVen unabhängig sind?
(d) Wir sollen hier (c) verwenden und folgern, dass für alle j,k gilt: [mm] $\mathbb E(X_j\mid S_n) [/mm] = [mm] \mathbb E(X_k\mid S_n)$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 24.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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