Summe konvergenter Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] p\ge [/mm] 1, und sei [mm] l^p [/mm] die Menge aller Folgen [mm] (z_v)_{v\in\IN} [/mm] in [mm] \IC [/mm] mit der Eigenschaft, dass [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p [/mm] konvergiert. Zeige:
(a) Mit z,w [mm] \in l^p [/mm] und [mm] \lambda\in\IC [/mm] liegen auch z+w und [mm] \lambda*z [/mm] in [mm] l^p, [/mm] wobei Addition und Mutliplikation mit Skalaren gliedweise definiert sind. (Insbesondere ist [mm] l^p [/mm] ein [mm] \IC- [/mm] Vektorraum.) |
Hallo! Ich habe bei der Aufgabe eine Abschätzung benutzt, wobei ich nicht weiß ob ich das einfach so machen darf:
Für ein [mm] (z_v)\in l^p [/mm] gilt doch, dass [mm] (z_v) [/mm] notwendigerweise eine Nullfolge ist. Daher dürfte ich doch auch diese Abschätzung benutzen:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p\le \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|
[/mm]
Seien [mm] (z_v) [/mm] und [mm] (w_v) [/mm] aus [mm] l^p.
[/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0 dann gibt es ein [mm] N(\epsilon)\in \IN [/mm] s.d. für [mm] n>N(\epsilon):
[/mm]
[mm] \summe_{v=n}^{\infty}|z_v|<\bruch{\epsilon}{2} [/mm] und [mm] \summe_{v=n}^{\infty}|w_v|<\bruch{\epsilon}{2}
[/mm]
Dann gilt doch:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p\le\summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|\le \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|+|w_v|<
[/mm]
[mm] \bruch{\epsilon}{2}+\bruch{\epsilon}{2}=\epsilon
[/mm]
Ist das so richtig?
Wenn in der Aufgabe stehen würde, dass [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p [/mm] eine Norm wäre, dann wäre es doch sicher so richtig, weil je 2 Normen äquivalent zueinander sind. Das konnte ich aber leider nicht benutzen, weil es ja nicht gesagt wurde.
Grüße, kulli
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Hiho,
> Für ein [mm](z_v)\in l^p[/mm] gilt doch, dass [mm](z_v)[/mm]
> notwendigerweise eine Nullfolge ist. Daher dürfte ich doch
> auch diese Abschätzung benutzen:
>
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p\le \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|[/mm]
Jop, das gilt.
> Seien [mm](z_v)[/mm] und [mm](w_v)[/mm] aus [mm]l^p.[/mm]
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0 dann gibt es ein [mm]N(\epsilon)\in \IN[/mm] s.d.
> für [mm]n>N(\epsilon):[/mm]
>
> [mm]\summe_{v=n}^{\infty}|z_v|<\bruch{\epsilon}{2}[/mm] und
> [mm]\summe_{v=n}^{\infty}|w_v|<\bruch{\epsilon}{2}[/mm]
Nein, wer sagt dir denn, dass [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|[/mm] überhaupt konvergiert?
Das ist gar nicht gegeben (und muss im Allgemeinen auch gar nicht stimmen, bspw: [mm] $\left(\bruch{1}{j}\right)_{j\in\IN} \in l^2$)
[/mm]
Mach dich mal über die Minkowski-Ungleichung schlau 
MFG,
Gono.
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Hi, gut dann weiß ich jetzt wenigstens warum es nicht gilt!
Zur Minkowski Ungleichung: Ich hab mir das auch schon überlegt, dass man die benutzen muss, aber die gilt doch nur für Normen!? Wenn ich die benutzen möchte, müsste ich doch erstmal zeigen, dass [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p [/mm] eine Norm definiert, wobei ich wieder am Anfang des Problems wäre, weil das ja aufs selbe hinaus läuft!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi, gut dann weiß ich jetzt wenigstens warum es nicht
> gilt!
>
> Zur Minkowski Ungleichung: Ich hab mir das auch schon
> überlegt, dass man die benutzen muss, aber die gilt doch
> nur für Normen!? Wenn ich die benutzen möchte, müsste
> ich doch erstmal zeigen, dass [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p[/mm]
> eine Norm definiert,
Das definiert für p> 1 keine Norm, aber
[mm] ||(z_v)||_p:= (\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p)^{1/p}
[/mm]
ist eine Norm auf [mm] l^p.
[/mm]
Noch ein Wort zur Äquivalenz von Normen.
Ist X ein endlichedimensionaler Vektorraum, so sind alle Normen auf X äquivalent.
Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen ist das i.a. falsch.
FRED
> wobei ich wieder am Anfang des
> Problems wäre, weil das ja aufs selbe hinaus läuft!
>
>
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Ja ok, aber die Dimension ist hier ja endlich. Leider muss ich in der zweiten Aufgabe zeigen, dass [mm] \wurzel[p]{\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p} [/mm] eine Norm ist. Dazu müsste ich aber doch erstmal zeigen, dass eben [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p [/mm] sowie [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|\lambda*z_v|^p [/mm] konvergiert. Also irgendwie dreh ich mich im Kreis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Fr 11.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja ok, aber die Dimension ist hier ja endlich.
Nein. dim [mm] l^p= \infty.
[/mm]
> Leider muss
> ich in der zweiten Aufgabe zeigen, dass
> [mm]\wurzel[p]{\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p}[/mm] eine Norm ist.
> Dazu müsste ich aber doch erstmal zeigen, dass eben
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p[/mm] sowie
> [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|\lambda*z_v|^p[/mm] konvergiert. Also
> irgendwie dreh ich mich im Kreis.
Verwende die Minkowskische Ungl. für endliche Summen, und wende sie auf die Patialsummen der beteiligten Reihe an.
FRED
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Danke für den Hinweis!
> Seien [mm] (z_v), (w_v) \in l^p> [/mm] > Ja ok, aber die Dimension ist hier ja endlich.
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> Nein. dim [mm]l^p= \infty.[/mm]
Ups, natürlich.. die Elemente sind ja (unendliche) Folgen!
>
> > Leider muss
> > ich in der zweiten Aufgabe zeigen, dass
> > [mm]\wurzel[p]{\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p}[/mm] eine Norm ist.
> > Dazu müsste ich aber doch erstmal zeigen, dass eben
> > [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p[/mm] sowie
> > [mm]\summe_{v=1}^{\infty}|\lambda*z_v|^p[/mm] konvergiert. Also
> > irgendwie dreh ich mich im Kreis.
>
>
> Verwende die Minkowskische Ungl. für endliche Summen, und
> wende sie auf die Patialsummen der beteiligten Reihe an.
>
> FRED
Etwa so:
Seien [mm] (z_v), (w_v) \in l^p [/mm] und x,y [mm] \in \IC^n [/mm] mit [mm](x+y)_i=(z_v+w_v)_i[/mm]; [mm] 1\le i\le\ [/mm] n (der i-te Eintrag von (x+y) ist das i-te Folgenglied von [mm] (z_v+w_v)_{v\in\IN}
[/mm]
Dann gilt für die n-te Partialsumme [mm] \summe_{v=1}^{n}|z_v+w_v|^p [/mm] von [mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p [/mm]
[mm] \wurzel[p]{\summe_{v=1}^{n}|z_v+w_v|^p} [/mm] =
[mm] \wurzel[p]{\summe_{k=1}^{n}|x_k+y_k|^p}=||x+y||_p \le ||x||_p+||y||_p =\wurzel[p]{\summe_{k=1}^{n}|x_k|^p}+\wurzel[p]{\summe_{k=1}^{n}|y_k|^p}=\wurzel[p]{\summe_{v=1}^{n}|z_v|^p}+\wurzel[p]{\summe_{v=1}^{n}|y_k|^p}\to \wurzel[p]{z}+\wurzel[p]{w}, [/mm] für [mm] n\to\infty. [/mm] Also das dürfte doch jetzt gelten?
Also ich habe die ersten n Glieder der Summe von [mm] z_n [/mm] und [mm] w_n [/mm] mitden Einträgen eines Vektors (x+y) aus dem [mm] \IC^n [/mm] identifiziert (s.o.), damit ich die Minkowski Ungleichung verwenden darf. Damit hätte ich dann die Dreiecksungleichung gezeigt.
Das war ja jetzt ein Teil (Dreiecksungleichung) der Aufgabe (b), in der man zeigen sollte, dass [mm]\wurzel[p]{\summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p}[/mm] eine Norm ist. Wenn das alles so richtig ist, dann kann ich doch auch folgern, dass auch gilt:
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p \le \summe_{v=1}^{\infty}|z_v|^p+\summe_{v=1}^{\infty}|w_v|^p
[/mm]
Das ist doch fast das selbe, nur ohne die p-te Wurzel. Damit wäre dann auch
[mm] \summe_{v=1}^{\infty}|z_v+w_v|^p [/mm] konvergent!?
Würde mich sehr über einen kritischen Blick freuen!
Grüße, kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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