Summe minimal werden lassen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll eine Gerade [mm] p_1(x):=a_0+a_1*x [/mm] so bestimmen, dass [mm] \summe_{j=1}^{7}(p_i*(x_j)-y_j)^2 [/mm] minimal wird für i=1
Es ist noch folgende Tabelle gegeben:
http://img152.imageshack.us/img152/9127/tabelleo.jpg |
Ich bin mir gerade unsicher, wie ich das Beispiel angehen soll.
Soll ich zuerst die Summe berechnen, alle Terme zusammenfassen, und mir dann das Minimum berechnen oder geht das irgendwie schneller?
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Guten Abend Omikron123,
> Ich soll eine Gerade [mm]p_1(x):=a_0+a_1*x[/mm] so bestimmen, dass
> [mm]\summe_{j=1}^{7}(p_i*(x_j)-y_j)^2[/mm] minimal wird für i=1
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> Es ist noch folgende Tabelle gegeben:
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> http://img152.imageshack.us/img152/9127/tabelleo.jpg
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> Ich bin mir gerade unsicher, wie ich das Beispiel angehen soll.
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> Soll ich zuerst die Summe berechnen, alle Terme
> zusammenfassen, und mir dann das Minimum berechnen oder
> geht das irgendwie schneller?
Das Verfahren, um das es hier geht nennt sich lineare Regression mit der Least-Squares Fehler-Methode. Habt ihr das behandelt?
Der Weg wird sein, die Funktion
[mm] L:\IR\times\IR\to\IR, (a_0,a_1)\mapsto\summe_{j=1}^{7}((a_0+a_1\cdot x_j)-y_j)^2
[/mm]
zu minimieren. Das geschieht auf die übliche Weise.
LG
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Danke für deine Antwort. Nein mir haben die Least-Squares Fehler-Methode nicht behandelt, aber ich habe mir gerade die Methode auf
http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html durchgelesen, bei dem der Fall für eine Gerade gerechnet wird. Nur, was wäre das [mm] s_{xx}, s_{xy} [/mm] und [mm] s_{yy} [/mm] bei meinen Werten?
Kann ich die gleiche Methode auch für den Fall einer Parabel anwenden, also ich hätte dann ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten
[mm] p_2(x):=b_0+b_1*x+b_2*x^2
[/mm]
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> Danke für deine Antwort. Nein mir haben die Least-Squares
> Fehler-Methode nicht behandelt, aber ich habe mir gerade
> die Methode auf
>
> http://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFitting.html
> durchgelesen, bei dem der Fall für eine Gerade gerechnet
> wird. Nur, was wäre das [mm]s_{xx}, s_{xy}[/mm] und [mm]s_{yy}[/mm] bei meinen Werten?
Das könnte man ausrechnen, aber bei den kleinen Beispiel ist es wohl eher so gedacht, dass Du die Funktion L aus meinem ersten Post per Hand minimieren sollst.
Das ist ein bisschen Rechnerei. In der Funktion L kannst Du für [mm] (x_j,y_j) [/mm] deine Datenpunkte einsetzen. Dann partielle Ableitung bilden und diese Null setzen.
Hier in den speziellen Fällen wird es hoffentlich etwas einfacher sein.
>
> Kann ich die gleiche Methode auch für den Fall einer
> Parabel anwenden, also ich hätte dann ein Gleichungssystem
> mit 3 Unbekannten
>
> [mm]p_2(x):=b_0+b_1*x+b_2*x^2[/mm]
Ja, das geht. Dann wird die Funktion
$ [mm] L_2:\IR^3\to\IR, (b_0,b_1,b_2)\mapsto\summe_{j=1}^{7}((b_0+b_1\cdot x_j+b_2 x_j^2)-y_j)^2 [/mm] $
minimiert und es sind die partiellen Ableitungen nach [mm] b_1,b_2,b_3 [/mm] zu betrachten. Eine ganze Menge Rechnerei...
LG
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