Summe mit binomischen Lehrsatz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie die Summe:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} -6^{k}
[/mm]
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Hi,
wieder mal eine Frage von mir :x
Also grundsätzlich stellen diese Aufgaben kein Problem da, aber wie muss ich hier mit diesem Fall umgehen (Startwert k=1 -> binomischer Lehrsatz k=0?
Muss ich im gesamten Ausdruck k mit "k-1" substituieren?
Danke, lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die Summe:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} -6^{k}[/mm]
>
Ich denke es soll
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (\vektor{n \\ k} -6^{k}) [/mm] $ lauten
>
> Hi,
>
> wieder mal eine Frage von mir :x
>
> Also grundsätzlich stellen diese Aufgaben kein Problem da,
> aber wie muss ich hier mit diesem Fall umgehen (Startwert
> k=1 -> binomischer Lehrsatz k=0?
Tipp: $ [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}-1= 2^n-1$
[/mm]
FRED
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> Muss ich im gesamten Ausdruck k mit "k-1" substituieren?
>
> Danke, lg
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argh, sorry. Danke für die schnelle Antwort.
Sitz schon wieder zu lange heute^^
[mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}
[/mm]
so muss es Aussehen.
Ich glaube ich steh grad voll auf der Leitung, ich versteh grad nicht , wie du vom einen Ausdruck auf [mm] 2^{n}-1 [/mm] kommst :/
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> argh, sorry. Danke für die schnelle Antwort.
> Sitz schon wieder zu lange heute^^
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}[/mm]
>
> so muss es Aussehen.
>
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> Ich glaube ich steh grad voll auf der Leitung, ich versteh
> grad nicht , wie du vom einen Ausdruck auf [mm]2^{n}-1[/mm] kommst
Der binomische Satz lautet so:
(*) [mm] $(a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}a^k*b^{n-k}$
[/mm]
Für a=b= 1 ergibt sich:
[mm] $2^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}$
[/mm]
Zu Deiner Aufgabe:
[mm]\summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}= \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}- \vektor{n \\ 0} (-6)^{0}=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}-1[/mm]
Nun schau mal auf (*). Wie mußt Du aund b wählen, dass Du [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k} [/mm] "leicht" berechnen kannst ?
FRED
> :/
>
> lg
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Vielen Dank, ich glaube jetzt habe ich es ;)
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}-1
[/mm]
(-1) ist eine Konstante, folglich kann man sie aus der Summe herausschreiben daraus ergibt sich:
-1 + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k}
[/mm]
Daann, dachte ich mir, ich kann mir einen Einser von "irgendwoher" ;) holen dann sieht es so aus:
-1 + [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-6)^{k} [/mm] * [mm] 1^{n-k}
[/mm]
Daraus ergibt sich umgeformt:
-1 + [mm] (1-6)^{n} [/mm] = -1 + [mm] (-5)^{n} [/mm] ??
lg
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Ah, ok.
Vielen Dank für die (wiederholte) nette Hilfe ;)
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