Summe zweier und dreier Quad. < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a) Welche der Zahlen 11, 111, 1111, 11111, ... lassen sich als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?
b) Welche der oben genannten Zahlen lassen sich als Summe dreier Quadrate darstellen? |
Hi,
auch hier wieder eine Lösung.
a) Die Zahlen sind alle [mm] \equvi [/mm] 11 (mod 100), also [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4). Da Quadrate entweder [mm] \equiv [/mm] 0 oder 1 (mod 4) sind, ist die Summe zweier Quadrate [mm] \equiv [/mm] 0, 1 oder 2 (mod 4).
Heißt das also hier, dass keine der Zahlen als Summe zweier Quadrate dargestellt werden kann?? Und wie kommen die von [mm] \equvi [/mm] 11 (mod 100) auf [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4)?? rechnet man das so:
[mm] \equvi [/mm] 11 (mod 100) [mm] \equvi [/mm] 11 (mod 4*25) und dann 2*11=22 zu 25 bleiben 3, deswegen dann [mm] \equiv [/mm] 3 (mod 4). Ist das die Begründung??
b) [mm] 11=1^2+1^2+3^2 [/mm] ist die Summe dreier Quadrate.
Alle anderen dieser Zahlen sind [mm] \equvi [/mm] 111 (mod 100), also [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8). Da Quadrate entweder [mm] \equiv [/mm] 0,1 oder 4 (mod 8) sind, ist die Summe dreier Quadrate [mm] \equiv [/mm] 0,1,2,3,4,5, oder 6 (mod 8). Also sind die die obigen Zahlen nicht als Summe dreier Zahlen darstellbar.
Hier auch wieder meine Frage, wie kommt das [mm] \equiv [/mm] 7 (mod 8) zustande.
Und fehlt hier [mm] \equiv [/mm] 0,1,2,3,4,5, oder 6 (mod 8) nicht noch zahlen?? Denn wenn ich drei mal die 4 habe, dann komme ich ja z.B. auf 12, und zwei mal die 4 einmal die 1, dann 9. usw.???
Grüße
|
|
| |
|
> a) Welche der Zahlen 11, 111, 1111, 11111, ... lassen sich
> als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen schreiben?
>
> b) Welche der oben genannten Zahlen lassen sich als Summe
> dreier Quadrate darstellen?
> Hi,
>
> auch hier wieder eine Lösung.
>
> a) Die Zahlen sind alle [mm]\equvi[/mm] 11 (mod 100), also [mm]\equiv[/mm] 3
> (mod 4). Da Quadrate entweder [mm]\equiv[/mm] 0 oder 1 (mod 4) sind,
> ist die Summe zweier Quadrate [mm]\equiv[/mm] 0, 1 oder 2 (mod 4).
>
>
> Heißt das also hier, dass keine der Zahlen als Summe
> zweier Quadrate dargestellt werden kann??
Ja, das heißt es.
> Und wie kommen
> die von [mm]\equvi[/mm] 11 (mod 100) auf [mm]\equiv[/mm] 3 (mod 4)?? rechnet
> man das so:
>
> [mm]\equvi[/mm] 11 (mod 100) [mm]\equvi[/mm] 11 (mod 4*25) und dann 2*11=22
> zu 25 bleiben 3, deswegen dann [mm]\equiv[/mm] 3 (mod 4). Ist das
> die Begründung?
Nein.
Ausgehend von $\ [mm] N\equiv11$ [/mm] (mod 100) kann man schließen:
$\ N\ =\ k*100+11\ =\ 4*(k*25+2)+3$ , also $\ [mm] N\equiv3$ [/mm] (mod 4)
> b) [mm]11=1^2+1^2+3^2[/mm] ist die Summe dreier Quadrate.
>
> Alle anderen dieser Zahlen sind [mm]\equvi[/mm] 111 (mod 100) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das muss heißen: mod 1000
> also [mm]\equiv[/mm] 7 (mod 8). Da Quadrate entweder [mm]\equiv[/mm] 0,1 oder 4
> (mod 8) sind, ist die Summe dreier Quadrate [mm]\equiv[/mm]
> 0,1,2,3,4,5, oder 6 (mod 8). Also sind die die obigen
> Zahlen nicht als Summe dreier Zahlen darstellbar.
>
>
> Hier auch wieder meine Frage, wie kommt das [mm]\equiv[/mm] 7 (mod
> 8) zustande.
Ganz analog:
$\ N\ =\ k*1000+111\ =\ 8*(k*125+13)+7$ , also $\ [mm] N\equiv7$ [/mm] (mod 8)
> Und fehlt hier [mm]\equiv[/mm] 0,1,2,3,4,5, oder 6 (mod 8) nicht
> noch zahlen?? Denn wenn ich drei mal die 4 habe, dann komme
> ich ja z.B. auf 12, und zwei mal die 4 einmal die 1, dann
> 9. usw.???
immer modulo 8 reduzieren !
Also etwa
[mm] 4+4+4=12\equiv4
[/mm]
[mm] 4+4+1=9\equiv1
[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
HI,
vielen Dank für deine super erklärung.
ich wollte nur nochmal fragen, ob du einen tipp hast, wie man zahlen aufsplittet??
also z.B. wie du es gemacht hast: 111+1000k=8(125k+13)+7.
Wie kommt man auf sowas schnell??
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo,
> ich wollte nur nochmal fragen, ob du einen tipp hast, wie
> man zahlen aufsplittet??
>
> also z.B. wie du es gemacht hast: 111+1000k=8(125k+13)+7.
>
> Wie kommt man auf sowas schnell??
Na, hier muss man möglichst schon "sehen", dass 1000 durch 8 teilbar ist. Dann bleibt ja nur noch die Aufgabe, 111 durch 8 zu teilen und den Rest zu ermitteln.
Den hier beschrittenen Lösungsweg findet man allerdings nicht so leicht, wie er dann nachzuvollziehen ist. Das verlangt sicher ein paar mehr Versuche und Überlegungen. Man kommt also nicht unbedingt schnell darauf.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hi,
und hast du einen Tipp, wie man es schneller/"einfacher" machen kann??
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
es gibt da keinen Königsweg. Das ist in der Zahlentheorie oft so. Man braucht eine Idee und eben manchmal auch ein bisschen Glück.
Nimm mal diese Aufgabe:
Seien [mm] a,b\in\IN. [/mm] Kann [mm] a^3+b^3\equiv 17\mod{2310} [/mm] sein?
Wenn ja, finde ein Zahlenpaar, das die Bedingung erfüllt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
ohh,
hier wüsste ich jetzt schon gerade nicht weiter.
die primfaktorzerlegung von 2310=2*3*5*7*11 bringt mich auch nicht weiter, oder??
|
|
|
| |
|
Hallo Steve,
> ohh,
>
> hier wüsste ich jetzt schon gerade nicht weiter.
>
> die primfaktorzerlegung von 2310=2*3*5*7*11 bringt mich
> auch nicht weiter, oder??
Na, vielleicht doch.
Dritte Potenzen können nur 0 oder 1 [mm] \mod [/mm] 2 sein. Wenig hilfreich.
[mm] \mod [/mm] 3 sind 0,1,2 möglich, also auch alles. Ebensowenig...
[mm] \mod [/mm] 5 sind 0,1,2,3,4 möglich. Hilft auch nicht.
[mm] \mod [/mm] 11 gibts 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 drin. Wieder nichts.
Hätten wir [mm] \mod [/mm] 13 zu betrachten, wärs besser. Da haben dritte Potenzen nur fünf mögliche Reste: 0,1,5,8,12. Aber leider kann man 2310 und 13 nicht miteinander in Bezug setzen.
Natürlich habe ich die 7 absichtlich ausgelassen:
[mm] \mod [/mm] 7 gibt es nur die Reste 0,1,6. Die Summe zweier dritter Potenzen kann also 0,1,2,5,6 ergeben. Nun bedeutet [mm] 17\mod{2310} [/mm] aber auch [mm] 3\mod{7}, [/mm] und genau die kann man nie erreichen.
Das wäre jetzt schon recht systematisch gesucht, aber doch ein bisschen trial and error.
Grüße
reverend
|
|
|
|
