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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Fr 27.01.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] W,W_1,W_2 [/mm] und [mm] W_3 [/mm] vier Teilräume eines Vektorraums V.
Zeige
[mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] W_2 [/mm] + [mm] W_1 [/mm] |
[mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2
[/mm]
wobei [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2
[/mm]
Warum darf ich bei den beiden Elementen nun kommutativgesetz anwenden?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:03 Fr 27.01.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo sissile,
> Seien [mm]W,W_1,W_2[/mm] und [mm]W_3[/mm] vier Teilräume eines Vektorraums
> V.
> Zeige
> [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] = [mm]W_2[/mm] + [mm]W_1[/mm]
>
> [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm]
> wobei [mm]w_1 \in W_1[/mm] und [mm]w_2 \in W_2[/mm]
> Warum darf ich bei den
> beiden Elementen nun kommutativgesetz anwenden?
weil die [mm]W_i[/mm] Teil- bzw. Untervektorräume von [mm]V[/mm] sind, kannst du die Elemente [mm]w_i\in W_i[/mm] auch als Elemente von [mm]V[/mm] auffassen - also [mm]w_i\in W_i\subseteq V[/mm]. Und in [mm]V[/mm] gilt das Kommutativgesetz (siehe Definition von Vektorraum).
Beispiel: [mm]\mathbb R[/mm] ist ein UVR von [mm]\mathbb R^3[/mm]. Die Elemente aus [mm]\mathbb R[/mm] - etwa 1, 5, [mm]\pi[/mm] - kannst du auch als Elemente in [mm]\mathbb R^3[/mm] auffassen - nämlich z.B. als [mm]\vektor{1\\
0\\
0}[/mm], [mm]\vektor{5\\
0\\
0}[/mm], [mm]\vektor{\pi\\
0\\
0}[/mm]. Sagen wir, der zweite UVR ist [mm]\mathbb R^2[/mm], dann kannst du dessen Elemente - etwa [mm]\vektor{1\\
2}[/mm], [mm]\vektor{e\\
-4}[/mm] - wie oben als Elemente von [mm]\mathbb R^3[/mm] auffassen - also [mm]\vektor{1\\
2\\
0}[/mm], [mm]\vektor{e\\
-4\\
0}[/mm].
Betachtest du jetzt das Element [mm]1+\vektor{1\\
2}\in\mathbb R+\mathbb R^2[/mm], kannst du beide UVR als Teilmengen von [mm]\mathbb R^3[/mm] auffassen (wo ja das Kommutativgesetz gilt!): [mm]\vektor{1\\
0\\
0}+\vektor{1\\
2\\
0}=\vektor{1\\
2\\
0}+\vektor{1\\
0\\
0}[/mm] (Beachte, dass das etwas "schwammig" formuliert ist, denn [mm]\vektor{1\\
0\\
0}+\vektor{1\\
2\\
0}=\vektor{2\\
2\\
0}\neq 1+\vektor{1\\
2}[/mm], es geht hier nur darum, dass die Elemente aus den UVR auch im "oberen" Vektorraum liegen, und da kommutieren sie)
In der Praxis muss das allerdings nicht unbedingt so einfach gehen... Denn hinter dem Wort "auffassen" verbirgt sich eigentlich eine Abbildung - z.B. [mm]\mathbb R\to\mathbb R^3[/mm], [mm]x\mapsto\vektor{x\\
0\\
0}[/mm] - die du am Ende wieder umkehrst (die Umkehrbarkeit musst du allerdings noch zeigen). Aber diese Abbildung kann auch sehr viel komplizierter sein...
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich... 
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Fr 27.01.2012 | | Autor: | sissile |
Danke, versuchte das mal anzuwenden, Obwohl mir die ersten Bsp als zu einfach vorkamen in meiner Lösung!!
[mm] W_1+W_2=w_1+w_2 [/mm] = [mm] w_2+w_1=W_2+W_1
[/mm]
wobei $ [mm] w_1 \in W_1 [/mm] $ und $ [mm] w_2 \in W_2 [/mm] $
Vektorraumaviom der Kommutativität
b) W + [mm] \{0\} [/mm] = W
w + 0 =w = W
wobei w [mm] \in [/mm] W
Vektorraumaxiom des neutralen elements
c) [mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] W_2 [/mm] <=> [mm] W_1 \subseteq W_2
[/mm]
[mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] w_2
[/mm]
Ich fehlt mir einfach, wie ich das aufschreiben kann! Die Rechenregel ist für mich total verstäöndlich, aber das mathematisch aufzuschreiben fehlt mir!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Fr 27.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst nicht schreiben [mm] W_1+W_2=w_1+w_2
[/mm]
nur [mm] w_1+w_2\in W_1+W_2
[/mm]
also musst du anders formulieren. nimm ein beliebiges Elemen aus [mm] W_1+W_2 [/mm] und zeige, dass es in [mm] W_2+W_1 [/mm] liegt. und umgekehrt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Fr 27.01.2012 | | Autor: | sissile |
Eine Definition im SKriptum ist:
SInd [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] zwei Teilräume eines Vektorraums V, so wird
[mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 :={w_1+w_2|w_1 \in W_1, w_2 \in W_2}
[/mm]
die Summe der Teilräume [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] genannt
beliebiges v [mm] \in W_1 [/mm] + [mm] W_2
[/mm]
nach der Definition der Summe existiert [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2 [/mm] mit v= [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2.
[/mm]
beliebiges v [mm] \in W_2 [/mm] + [mm] W_1
[/mm]
nach der Definition der Summe existiert [mm] w_2 \in W_2 [/mm] und [mm] w_1 \in W_1 [/mm] mit v= [mm] w_2 [/mm] + [mm] w_1.
[/mm]
so sollte ich das bei allen Bsp begründen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:35 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> Eine Definition im SKriptum ist:
> SInd [mm]W_1[/mm] und [mm]W_2[/mm] zwei Teilräume eines Vektorraums V, so
> wird
> [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2 :={w_1+w_2|w_1 \in W_1, w_2 \in W_2}[/mm]
> die Summe
> der Teilräume [mm]W_1[/mm] und [mm]W_2[/mm] genannt
>
> beliebiges v [mm]\in W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm]
> nach der Definition der Summe existiert [mm]w_1 \in W_1[/mm] und
> [mm]w_2 \in W_2[/mm] mit v= [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2.[/mm]
>
> beliebiges v [mm]\in W_2[/mm] + [mm]W_1[/mm]
> nach der Definition der Summe existiert [mm]w_2 \in W_2[/mm] und
> [mm]w_1 \in W_1[/mm] mit v= [mm]w_2[/mm] + [mm]w_1.[/mm]
> so sollte ich das bei allen Bsp begründen?
Du musst ein wenig mengentheoretischer Denken: Du sollst doch hier begründen, dass [mm] $W_1+W_2=W_2+W_1\,.$
[/mm]
Das heißt, Du hast 2 Sachen zu zeigen:
1.) Zu zeigen ist zunächst [mm] $W_1+W_2 \subseteq W_2+W_1\,.$
[/mm]
Sei also $v [mm] \in W_1+W_2\,,$ [/mm] dann können wir [mm] $v=w_1+w_2$ [/mm] schreiben mit einem [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] und einem [mm] $w_2 \in W_2\,.$ [/mm] Warum folgt nun auch $v [mm] \in W_2+W_1$? [/mm] Naja, es wurde schonmal gesagt:
Es gilt [mm] $w_1 \in W_1 \subseteq [/mm] V$ und [mm] $w_2 \in W_2 \subseteq V\,,$ [/mm] so dass wir die Addition [mm] $w_1+w_2$ [/mm] als Addition in [mm] $V\,$ [/mm] auffassen (wir addieren ja zwei Vektoren aus [mm] $V\,$ [/mm] - das ist auch der Gedanke in Deiner obigen Definition.)
Dort gilt aber das Kommutativgesetz bzgl. der Addition, also?
Bleibt noch zu zeigen, dass auch 2.) gilt:
2.) Zu zeigen: [mm] $W_2 [/mm] + [mm] W_1 \subseteq W_1+W_2\,.$
[/mm]
(hier braucht man nicht wirklich viel zu zeigen. Man kann das alles nochmal hinschreiben, oder man sagt: Wie 1.), nur mit Rollentausch (wobei man vll. noch sagt, welcher Rollentausch gemeint ist).)
P.S.:
Lies' bitte auch meine Korrektur der ersten Antwort hier: Denn das [mm] $\IR$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, ist in dieser Form total falsch. Dann müßte [mm] $(0,0,0)^T \in \IR$ [/mm] gelten, denn insbesondere müßte [mm] $\IR \subseteq \IR^3$ [/mm] gelten, was nicht der Fall ist. Was dort gemeint war, war, dass man [mm] "$\IR$ [/mm] im [mm] $\IR^3$ [/mm] wiederfinden kann" - und das ist ziemlich klar: Man nehme einfach irgendeine Urpsrungsgerade des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Und diese Ursprungsgerade ist dann ein Unterraum des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Sa 28.01.2012 | | Autor: | sissile |
Ein bisschen viel schreibarbeit ist das ja schon bei 4 Beispielen.
Ich versuch mich mal an den weiteren Beispielen
b) [mm] W_1 [/mm] + [mm] (W_2 [/mm] + [mm] W_3) [/mm] = [mm] (W_1 [/mm] + [mm] W_2) [/mm] + [mm] W_3
[/mm]
sei v [mm] \in W_1 [/mm] + [mm] (W_2 [/mm] + [mm] W_3) [/mm] so ist v = [mm] w_1 [/mm] + [mm] (w_2 +w_3) [/mm] mit [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] + [mm] w_3 \in W_2+W_3 [/mm] wobei [mm] w_2 \in W_2 [/mm] und [mm] w_3 \in W_3. [/mm] Es gilt [mm] w_1 \in W_1 \subseteq [/mm] V und [mm] w_2 \in W_2\subseteq [/mm] V und [mm] w_3 \in W_3\subseteq [/mm] V und in V gilt das Assoziativgesetzt. v [mm] =(w_1 [/mm] + [mm] w_2) +w_3 [/mm] also v [mm] \in (W_1 [/mm] + [mm] W_2) [/mm] + [mm] W_3
[/mm]
=> [mm] W_1 [/mm] + [mm] (W_2 [/mm] + [mm] W_3) \subseteq (W_1 [/mm] + [mm] W_2) [/mm] + [mm] W_3
[/mm]
[mm] W_1 [/mm] + [mm] (W_2 [/mm] + [mm] W_3) \supseteq (W_1 [/mm] + [mm] W_2) [/mm] + [mm] W_3 [/mm] analog .
c)W + [mm] \{0\} [/mm] = W
sei v [mm] \in [/mm] W + [mm] \{0\} [/mm] so ist v=w +0 mit w [mm] \in [/mm] W und 0 [mm] \in \{0\}
[/mm]
da w [mm] \in [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] V ist und 0 [mm] \in \{0\} \subseteq [/mm] V
Gilt Nach Vektorraumaxiom in V : w+0 =w also ist v [mm] \in [/mm] W
d.h. W + [mm] \{0\} \subseteq [/mm] W
Sei v [mm] \in [/mm] W so ist v=w mit w [mm] \in [/mm] W
da w [mm] \in [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] V und 0 [mm] \in\{0\}\subseteq [/mm] V ist nach Vektorraumaxiom in V: w= w+0 also ist v [mm] \in [/mm] W + [mm] \{0\}
[/mm]
dh.W + [mm] \{0\} \supseteq [/mm] W
d)
[mm] W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] = [mm] W_2 [/mm] <=> [mm] W_1 \subseteq W_2
[/mm]
<=
[mm] W_1 \subseteq W_2 [/mm] heißt sei v [mm] \in W_1 [/mm] so ist [mm] v=w_1 [/mm] mit [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und impliziert v [mm] \in W_2 [/mm] so ist v= [mm] w_1 [/mm] mit [mm] w_1 \in W_2
[/mm]
sei v [mm] \in W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] so ist v = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2
[/mm]
wobei [mm] w_1 \in W_2, W_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2
[/mm]
da [mm] W_2 [/mm] ein Teilraum ist ist [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 \in W_2. [/mm]
=>
v [mm] \in W_1 [/mm] + [mm] W_2 [/mm] so ist v= [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_2 [/mm] mit [mm] w_1 \in W_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2
[/mm]
und v [mm] \in W_2 [/mm] so ist [mm] v=w_2 [/mm] mit [mm] w_2 \in W_2
[/mm]
[mm] v=w_1 [/mm] + [mm] w_2=w_2 [/mm] =v
[mm] w_1 [/mm] = [mm] w_2 [/mm] - [mm] w_2
[/mm]
linke seite [mm] \in W_1 [/mm] und rechte seite [mm] \in W_2
[/mm]
Da stecke ich.
Ich hoffe die ersten teile passen.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> Ein bisschen viel schreibarbeit ist das ja schon bei 4
> Beispielen.
es ist sinnvoller, alle in getrennten Fragen zu stellen. Dann können auch mehrere gleichzeitig Deine Lösungen kontrollieren. Jedenfalls ist's mMn das beste, maximal zwei zusammenhängende Teile in einer Frage zu behandeln!
> Ich versuch mich mal an den weiteren Beispielen
>
> b) [mm]W_1[/mm] + [mm](W_2[/mm] + [mm]W_3)[/mm] = [mm](W_1[/mm] + [mm]W_2)[/mm] + [mm]W_3[/mm]
> sei v [mm]\in W_1[/mm] + [mm](W_2[/mm] + [mm]W_3)[/mm] so ist v = [mm]w_1[/mm] + [mm](w_2 +w_3)[/mm]
> mit [mm]w_1 \in W_1[/mm] und [mm]w_2[/mm] + [mm]w_3 \in W_2+W_3[/mm] wobei [mm]w_2 \in W_2[/mm]
> und [mm]w_3 \in W_3.[/mm] Es gilt [mm]w_1 \in W_1 \subseteq[/mm] V und [mm]w_2 \in W_2\subseteq[/mm]
> V und [mm]w_3 \in W_3\subseteq[/mm] V und in V gilt das
> Assoziativgesetzt. v [mm]=(w_1[/mm] + [mm]w_2) +w_3[/mm] also v [mm]\in (W_1[/mm] +
> [mm]W_2)[/mm] + [mm]W_3[/mm]
> => [mm]W_1[/mm] + [mm](W_2[/mm] + [mm]W_3) \subseteq (W_1[/mm] + [mm]W_2)[/mm] + [mm]W_3[/mm]
> [mm]W_1[/mm] + [mm](W_2[/mm] + [mm]W_3) \supseteq (W_1[/mm] + [mm]W_2)[/mm] + [mm]W_3[/mm] analog .
Erstmal will ich sagen: Das ist so absolut korrekt. Dennoch gibt's einen "kleinen" Zwischenschritt, den Du übersprungen hast (was nicht schlimm ist, da fast alle das machen und vielen der Zwischenschritt klar ist, und sie ihn in Gedanken machen):
Ich würde es komplett so hinschreiben:
Sei $v [mm] \in W_1+(W_2+W_3)\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] und ein $w [mm] \in W_2+W_3$ [/mm] mit [mm] $v=w_1+w\,.$ [/mm] Nach Definition von [mm] $W_2+W_3$ [/mm] gibt es ein [mm] $w_2 \in W_2$ [/mm] und ein [mm] $w_3 \in W_3$ [/mm] mit [mm] $w=w_2+w_3\,.$ [/mm] Daher folgt [mm] $v=w_1+(w_2+w_3)\,.$ [/mm] (Hier beachte, dass die Klammer um [mm] $w_2+w_3$ [/mm] geschrieben werden muss, weil "diese Summe in einem Schritt berechnet wird". Genauso, wie Du das bei Zahlen kennst: $1+(2+3)$ bedeutet: Nimm' die Zahl 1 und addiere dann das Ergebnis der Berechnung 2+3 hinzu. Also: [mm] $1+(2+3)=1+5\,.$ [/mm] Wenn Du nicht wüßtest, dass das Assoziativgesetz hier gilt, würdest Du nicht auf die Klammer verzichten. Und $(1+2)+3$ wäre dann "eine andere Rechnung": Hier würde man das Ergebnis der Addition $1+2$ nehmen, und danach dann die 3 dazuaddieren: [mm] $(1+2)+3=3+3\,.$ [/mm] Viele vergessen leider beim Assoziativgesetz, was die Klammer eigentlich bedeutet. Beim "Einsetzen" ist es eigentlich nie verkehrt, das "Eingesetzte" in Klammern zu schreiben, und auch "die ursprüngliche Reihenfolge beizubehalten":
[mm] $1+x+y\,$ [/mm] mit [mm] $x=2a+3\,$ [/mm] und [mm] $y=r+2s\,$ [/mm] ergibt dann [mm] $1+(2a+3)+(r+2s)\,.$ [/mm] Dass man danach Klammern weglassen darf und Summanden vertauschen etc., liegt eben am Assoziativ- und Kommutativgesetz.)
> c)W + [mm]\{0\}[/mm] = W
> sei v [mm]\in[/mm] W + [mm]\{0\}[/mm] so ist v=w +0 mit w [mm]\in[/mm] W und 0 [mm]\in \{0\}[/mm]
Absolut korrekt. Um's wieder ganz extrem deutlich zu schreiben, könntest Du auch sagen:
Sei $v [mm] \in W+\{0\}\,.$ [/mm] Dann gibt es ein $w [mm] \in [/mm] W$ und ein $o [mm] \in \{0\}$ [/mm] mit [mm] $v=w+o\,.$ [/mm] Weil aber $o [mm] \in \{0\} \gdw o=0\,,$ [/mm] kann man [mm] $v=w+0\,$ [/mm] schreiben...
> da w [mm]\in[/mm] W [mm]\subseteq[/mm] V ist und 0 [mm]\in \{0\} \subseteq[/mm] V
> Gilt Nach Vektorraumaxiom in V : w+0 =w also ist [mm] $v\blue{=w}$[/mm] [mm]\in[/mm] W
> d.h. W + [mm]\{0\} \subseteq[/mm] W
Korrekt!
> Sei v [mm]\in[/mm] W so ist v=w mit w [mm]\in[/mm] W
> da w [mm]\in[/mm] W [mm]\subseteq[/mm] V und 0 [mm]\in\{0\}\subseteq[/mm] V ist
> nach Vektorraumaxiom in V: w= w+0 also ist v [mm]\in[/mm] W + [mm]\{0\}[/mm]
> dh.W + [mm]\{0\} \supseteq[/mm] W
Auch das ist korrekt. Du solltest es auch so stehenlassen. Was aber eh gilt: Sind $U,U' [mm] \subseteq [/mm] V$ Unterräume aus [mm] $V\,,$ [/mm] so folgt $U [mm] \subseteq [/mm] U+U'$ und $U' [mm] \subseteq U+U'\,.$ [/mm] Daher würde diese Aussage natürlich oben gerade $W [mm] \subseteq W+\{0\}$ [/mm] beinhalten. Allerdings: Der Beweis von $U,U' [mm] \subseteq [/mm] U+U'$ benutzt die gleichen Argumente wie Du oben:
So gilt etwa
$$U [mm] \subseteq U+U'\,,$$
[/mm]
weil jedes $u [mm] \in [/mm] U$ geschrieben werden kann als [mm] $u=u+0_V\,,$ [/mm] wobei [mm] $0_V$ [/mm] der Nullvektor aus [mm] $V\,$ [/mm] ist, der auch in $U'$ liegen muss, weil ja auch $U'$ Unterraum von [mm] $V\,$ [/mm] ist.
> d)
> [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] = [mm]W_2[/mm] <=> [mm]W_1 \subseteq W_2[/mm]
> <=
> [mm]W_1 \subseteq W_2[/mm] heißt sei v [mm]\in W_1[/mm] so ist [mm]v=w_1[/mm] mit
> [mm]w_1 \in W_1[/mm] und impliziert v [mm]\in W_2[/mm] so ist v= [mm]w_1[/mm] mit [mm]w_1 \in W_2[/mm]
Okay. Das ist die Voraussetzung, aber nun wirklich sehr kompliziert beschrieben geschrieben. Viel kürzer:
Weil [mm] $W_1 \subseteq W_2$ [/mm] ist gilt für jedes [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] auch [mm] $w_1 \in W_2\,.$ [/mm]
> sei v [mm]\in W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] so ist v = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm]
> wobei [mm]w_1 \in W_2, W_1[/mm]
Schreibe das anders, Notationen der Art $x [mm] \in [/mm] A,B$ sind mit nicht bekannt. Du meinst: [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] liefert wegen [mm] $W_1 \subseteq W_2$ [/mm] dann auch [mm] $w_1 \in W_2$ [/mm] (richtig wäre auch [mm] $w_1 \in W_1 \Rightarrow w_1 \in W_1 \cap W_2$ [/mm] wegen [mm] $W_1 \subseteq W_2$ [/mm] und aus [mm] $(W_1 \cap W_2) \subseteq W_2$ [/mm] folgt dann auch [mm] $w_1 \in W_2\,.$ [/mm] Aber ehrlich gesagt: So ist das noch komplizierter und umständlicher, als einfach direkt per Definitionem vorzugehen!).
Das, was Dir eigentlich wichtig an der Stelle ist, dass Du auch [mm] $w_1 \in W_2$ [/mm] erhältst. Das ist der entscheidende Punkt an dieser Stelle!
> und [mm]w_2 \in W_2[/mm]
> da [mm]W_2[/mm] ein
> Teilraum ist ist [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2 \in W_2.[/mm]
Somit hast Du nun [mm] $W_1+W_2 \subseteq W_2$ [/mm] nachgewiesen. Warum gilt [mm] $W_2 \subseteq W_1+W_2$? [/mm] Tipp: Was waren nochmal "offensichtliche Teilmengen" von [mm] $W_1+W_2$? [/mm] Alternativ:
Benutze [mm] $W_2=W_2+\{0\}$ [/mm] und [mm] $\{0\} \subseteq W_1$ [/mm] (warum?). Und danach natürlich auch nochmal das bereits bewiesene [mm] $W_2+W_1=W_1+W_2\,.$
[/mm]
> =>
> v [mm]\in W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] so ist v= [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm] mit [mm]w_1 \in W_1[/mm] und
> [mm]w_2 \in W_2[/mm]
> und v [mm]\in W_2[/mm] so ist [mm]v=w_2[/mm] mit [mm]w_2 \in W_2[/mm]
>
> [mm]v=w_1[/mm] + [mm]w_2=w_2[/mm] =v
> [mm]w_1[/mm] = [mm]w_2[/mm] - [mm]w_2[/mm]
> linke seite [mm]\in W_1[/mm] und rechte seite [mm]\in W_2[/mm]
> Da stecke
> ich.
Machen wir diesen Beweisteil nochmal neu:
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Gelte nun [mm] $W_1+W_2=W_2\,.$ [/mm] Wir haben [mm] $W_1 \subseteq W_2$ [/mm] zu zeigen, also zu zeigen: Jedes [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] erfüllt auch [mm] $w_1 \in W_2\,.$ [/mm] Sei also [mm] $w_1 \in W_1$ [/mm] beliebig, aber fest. Da wir [mm] $w_1=w_1+0$ [/mm] schreiben können, und weil $0 [mm] \in W_2$ [/mm] ist, folgt somit aus [mm] $w_1=w_1+0$ [/mm] sofort [mm] $w_1 \in W_1+W_2\,.$ [/mm] Warum folgt somit nun [mm] $w_1 \in W_2$? [/mm] (Falls Du's nicht direkt siehst: Was war hier nochmal die Voraussetzung?)
P.S.:
Alternativ zu [mm] $\Rightarrow$ [/mm] bei d):
Aus c) folgt [mm] $W_1=W_1+\{0\} \subseteq W_1+W_2$ [/mm] unter Beachtung von [mm] $\{0\} \subseteq W_2\,.$ [/mm] Also?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Sa 28.01.2012 | | Autor: | sissile |
danke!!!
Am Schluss noch eine Frage die noch da steht:
Warum bildet die Menge aller Teilräume mit dieser Verknüpfung + i.A. keine Gruppe- Gibt einen Vektorraum V an, für den dies doch der Fall ist.
1. Assoziativität gilt
2. Neutrales Element [mm] \{0\} [/mm] gilt
Was ist mit dem inversen Element.
für jeden teilraum W [mm] \in [/mm] V muss existieren [mm] W'\in [/mm] V so dass W + W' = [mm] \{0\}
[/mm]
W + W' ist für kein W' gleich [mm] \{0\}, [/mm] wenn W' nicht gleich [mm] \{0\} [/mm] ist., was aus der Definition der SUmme folgt.
oder=?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 So 29.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo sissile,
> danke!!!
> Am Schluss noch eine Frage die noch da steht:
> Warum bildet die Menge aller Teilräume mit dieser
> Verknüpfung + i.A. keine Gruppe- Gibt einen Vektorraum V
> an, für den dies doch der Fall ist.
>
> 1. Assoziativität gilt
> 2. Neutrales Element [mm]\{0\}[/mm] gilt
> Was ist mit dem inversen Element.
> für jeden teilraum W [mm]\in[/mm] V muss existieren [mm]W'\in[/mm] V so
> dass W + W' = [mm]\{0\}[/mm]
> W + W' ist für kein W' gleich [mm]\{0\},[/mm] wenn W' nicht gleich
> [mm]\{0\}[/mm] ist., was aus der Definition der SUmme folgt.
> oder=?
Du meinst das richtige, aber argumentierst irgendwie mit dem falschen.
(Nebenbei: Zu dem rotmarkierten: W+W' ist nicht [mm] $=\{0\}\,,$ [/mm] wenn nicht SOWOHL [mm] $W=\{0\}$ [/mm] ALS AUCH [mm] $W'=\{0\}$ [/mm] gilt. Denn wir hatten doch gesehen: [mm] $W+\{0\}=W\,,$ [/mm] also wird wohl [mm] $W+\{0\}$ [/mm] i.a. auch nicht [mm] $=\{0\}$ [/mm] sein.)
Die Frage ist doch:
Für welchen Vektorraum/welche Vektorräume [mm] $\red{V}$ [/mm] gilt, dass die Menge
[mm] $$\mathfrak{U}=\{U \subseteq V: U \text{ Unterraum}\}$$
[/mm]
mit "obiger Addition auf [mm] $\mathfrak{U} \times \mathfrak{U}$" [/mm] (anders gesagt: mit der Addition [mm] $\mathfrak{U} \times \mathfrak{U} \to \mathfrak{U},\;\, [/mm] (U,W) [mm] \mapsto U+W:=\{\underbrace{u+w}_{\text{Addition in }V\text{ !!!}}: u \in U, w \in W\}$) [/mm] eine Gruppe ist.
In der Tat gilt dann: Ist $V [mm] \not=\{0\}\,,$ [/mm] so hat $V [mm] \in \mathfrak{U}$ [/mm] kein additiv Inverses (die folgende Argumentation könnte man auch so führen, dass man sagt: Jeder Unterraum $W [mm] \subseteq [/mm] V$ mit $W [mm] \not=\{0_V\}$ [/mm] kann - falls [mm] $V\not=\{0_V\}$ [/mm] gilt - kein additiv inverses haben. Und dann geht man i.w. so vor wie unten und sagt am Ende: Und es gibt einen Unterraum $W [mm] \subseteq V\,,$ [/mm] so dass $W [mm] \not=\{0_V\}$: [/mm] nämlich [mm] $W=V\,.$):
[/mm]
Hätte nämlich [mm] $V\,$ [/mm] ein Inverses bzgl. der "Unterraumaddition", so gäbe es insbesondere einen Unterraum $W [mm] \subseteq [/mm] V$ mit [mm] $V+W=\{0\}\,.$ [/mm] Weil [mm] $W\,$ [/mm] Unterraum ist, gilt [mm] $0_V \in W\,,$ [/mm] und für $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not=0_V$ [/mm] folgt somit
[mm] $$0_V \not=v=\underbrace{v}_{ \in V}+\underbrace{0_V}_{\in W} \in V+W\,,$$
[/mm]
was $v [mm] \in [/mm] V+W$ und damit $V+W [mm] \supseteq \{v\}\,,$ [/mm] insbesondere - wegen $v [mm] \not=0_V$ [/mm] - also $V+W [mm] \not=\{0\}$ [/mm] impliziert.
Also ist die einzig mögliche Wahl für [mm] $V\,,$ [/mm] so dass [mm] $(\mathfrak{U},+)$ [/mm] mit der "Unterraumaddition wie oben" eine Gruppe bildet, "der" Nullraum. (Das letzte "der" in Anführungszeichen, weil es ja i.a. mehr als nur einen "Nullvektor" gibt. Dennoch bleibt die Aussage für jeden Nullvektor richtig: Egal, ob das nun "das Nullpolynom", die $0 [mm] \in \IK\,,$ [/mm] die [mm] $0=(0,0,0)^T$ [/mm] des [mm] $\IK^3$ [/mm] oder was auch immer ist. Bzgl. einer betrachteten Obermenge wird man sicher dann auch unter "dem Nullraum" den "passenden Nullraum" verstehen.)
Dass man für [mm] $V=\{0\}=\{0_V\}$ [/mm] aber die Gruppenaxiome bzgl. der Addition erfüllt hat, ist trivial: [mm] $V\,$ [/mm] ist hier dann zu sich selbst invers.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 03:20 Sa 28.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo sissile,
>
> > Seien [mm]W,W_1,W_2[/mm] und [mm]W_3[/mm] vier Teilräume eines Vektorraums
> > V.
> > Zeige
> > [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] = [mm]W_2[/mm] + [mm]W_1[/mm]
> >
> > [mm]W_1[/mm] + [mm]W_2[/mm] = [mm]w_1[/mm] + [mm]w_2[/mm]
> > wobei [mm]w_1 \in W_1[/mm] und [mm]w_2 \in W_2[/mm]
> > Warum darf ich
> bei den
> > beiden Elementen nun kommutativgesetz anwenden?
>
> weil die [mm]W_i[/mm] Teil- bzw. Untervektorräume von [mm]V[/mm] sind,
> kannst du die Elemente [mm]w_i\in W_i[/mm] auch als Elemente von [mm]V[/mm]
> auffassen - also [mm]w_i\in W_i\subseteq V[/mm]. Und in [mm]V[/mm] gilt das
> Kommutativgesetz (siehe Definition von Vektorraum).
>
> Beispiel: [mm]\mathbb R[/mm] ist ein UVR von [mm]\mathbb R^3[/mm]. Die
> Elemente aus [mm]\mathbb R[/mm] - etwa 1, 5, [mm]\pi[/mm] - kannst du auch
> als Elemente in [mm]\mathbb R^3[/mm] auffassen - nämlich z.B. als
> [mm]\vektor{1\\
0\\
0}[/mm], [mm]\vektor{5\\
0\\
0}[/mm], [mm]\vektor{\pi\\
0\\
0}[/mm].
so darfst Du das nicht schreiben. Du identifizierst hier [mm] $\IR$ [/mm] mit einem Unterraum des [mm] $\IR^3\,$!!!
[/mm]
Überlege mal:
Jeder Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] enthält den Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0\\0} \in \IR^3\,.$ [/mm] Wie soll [mm] $(0,0,0)^T \in \IR$ [/mm] gelten???
(Generell: Da jeder Unterraum $U$ vom [mm] $\IR^3$ [/mm] wegen $U [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] erfüllt, dass $u [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] u [mm] \in \IR^3\,,$ [/mm] gilt [mm] $u=(u_1,u_2,u_3)^T$ [/mm] mit gewissen [mm] $u_1,u_2,u_3 \in \IR\,.$ [/mm] Ein Element des Unterraums hat also IMMER 3 KOMPONENTEN!)
Was Du schreiben kannst:
[mm] $$R:=\{(r,0,0)^T: r \in \IR\}$$
[/mm]
ist ein Unterraum des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] und dieser Unterraum ist zu [mm] $\IR$ [/mm] isomorph. Daher können wir [mm] $R\,$ [/mm] mit [mm] $\IR$ [/mm] etwa durch die Bijektion
[mm] $$\IR \ni [/mm] r [mm] \mapsto [/mm] (r,0,0) [mm] \in [/mm] R$$
identifizieren!
P.S.:
Ebensogut hätte man auch [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $\{(0,r,0): r \in \IR\} \subseteq \IR^3$ [/mm] identifizieren können. Und mit etwas Geschick auch mit jeder [mm] $\IR^3$-Ursprungsgeraden. [/mm] Daher ist die Aussage, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, in Deiner obigen Form alles andere als gelungen, sie ist falsch! Denn Unterräume enthalten nicht "Elemente mit weniger Komponenten". Wie soll das gehen, wenn man die Teilbedingungseigenschaft hat?
Gruß,
Marcel
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