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Ich habe folgende Summen nach vorausgegangenen Umformungen erhalten.
[mm] \summe_{i=2}^{n+1}k [/mm] - [mm] \summe_{i=2}^{n+1}1
[/mm]
Wie war jetzt noch mal die Regel um die Summen wegfallen zu lassen um einen "normalen" Term zu erhalten?
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Hallo,
> Ich habe folgende Summen nach vorausgegangenen Umformungen
> erhalten.
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> [mm]\summe_{i=2}^{n+1}k[/mm] - [mm]\summe_{i=2}^{n+1}1[/mm]
>
> Wie war jetzt noch mal die Regel um die Summen wegfallen zu
> lassen um einen "normalen" Term zu erhalten?
42.
42 ist die Antwort auf alle Fragen, somit auch auf deine.
Rein mathematisch betrachtet allerdings ist deine Frage nach 'der Regel' ziemlicher Nonsens. Das kommt doch darauf an, was summiert wird!
Wenn du die zweite Summe nicht hinbekommst, dann fällt mir auch nichts mehr ein. Was wird denn da summiert und wie oft?
Für den ersten Summanden nutze die Gauß'sche Summenformel
[mm] \sum_{k=1}^nk=\bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
Achte jedoch dabei auf die abweichenden Indizes!
Vielleicht muss man an dieser Stelle auch mal wieder darauf hinweisen, dass wir hier kein Chatroom sind, sondern wir möchten Lösungen gemeinsam mit den Fragestellern erarbeiten. Dazu bedarf es eigender Ansätze und Überlegungen, bevor man eine Frage postet.
Gruß, Diophant
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Es ist eine Aufgabe zur vollständigen Induktion. Den ganzen Kram davor habe ich aber bewusst weggelassen, da dieser klar ist.
Die Aufgabe war:
Z.z.: [mm] \summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}*\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}
[/mm]
Soweit ich verstanden habe erhält man die Anzahl der Summanden der Summe über die "Formel": Obere Grenze - Untere Grenze + 1.
[mm] \Rightarrow \summe_{i=2}^{n+1}1 \Rightarrow [/mm] n+1-2+1=n [mm] \Rightarrow [/mm] n-Summanden für 1 also [mm] \summe_{i=2}^{n+1}1 \Rightarrow [/mm] n da ich n-mal die 1 summiere...
[mm] \summe_{i=2}^{n+1}k \Rightarrow [/mm] ebenfalls n-Summanden für k.
Wie verändert sich denn jetzt die Gauß'sche Summenformel für andere Grenzen?
[mm] \summe_{i=2}^{n+1}k=\bruch{n*(n+2)}{2} [/mm] oder wie funktioniert das?
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Hallo SturmGhost,
[mm] \summe_{k=2}^{n+1}k=n+1+\summe_{k=2}^{n}k=-1+n+1+\summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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[mm] \bruch{3n+n^2}{2} [/mm] als Lösung für [mm] \summe_{k=2}^{n+1}k [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 So 01.12.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]\bruch{3n+n^2}{2}[/mm] als Lösung für [mm]\summe_{k=2}^{n+1}k[/mm] ?
Kann sein, kann auch nicht sein. Ohne deine Rechnung können wir das nicht beurteilen.
Zeige doch mal eine zusammenhängede Rechnung.
Also in etwa wie folgt.
Du hast:
[mm] \sum\limits_{i=2}^{n+1}k
[/mm]
[mm] =2+3+\ldots+n+n+1
[/mm]
Die Summenformel gilt für i=1 bis i=n, also musst du noch k=1 addieren und subtrahieren
[mm] =-1+\red{1+2+3+\ldots+n}+(n+1)
[/mm]
Nun in der Mitte die Summenformel loslassen
[mm] =-1+\sum\limits_{i=1}^{n}+(n+1)
[/mm]
Summenformel nutzen und umsortieren
[mm] =n+1-1+\frac{n\cdot(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{2n+n\cdot(n+1)}{2}
[/mm]
[mm] =\frac{3n+n^{2}}{2}
[/mm]
Deine Lösung ist also korrekt.
Schreibe diese Schritte in Zukunft doch auch hier auf, die Gedanken musst du dur doch eh machen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
ich habe ein paar Fragen.
> Es ist eine Aufgabe zur vollständigen Induktion. Den
> ganzen Kram davor habe ich aber bewusst weggelassen, da
> dieser klar ist.
>
> Die Aufgabe war:
>
> Z.z.: [mm]\summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}*\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}[/mm]
Soll die Summe vielleicht bei $k=2$ anfangen?
Für welche [mm] n\in\IN [/mm] sollst du das genau zeigen?
Soll das schon der Induktionsschritt sein?
>
> Soweit ich verstanden habe erhält man die Anzahl der
> Summanden der Summe über die "Formel": Obere Grenze -
> Untere Grenze + 1.
Das würde ich gerne verstehen. Kannst du das mal bitte erläutern?
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{i=2}^{n+1}1 \Rightarrow[/mm] n+1-2+1=n
> [mm]\Rightarrow[/mm] n-Summanden für 1 also [mm]\summe_{i=2}^{n+1}1 \Rightarrow[/mm]
> n da ich n-mal die 1 summiere...
>
> [mm]\summe_{i=2}^{n+1}k \Rightarrow[/mm] ebenfalls n-Summanden für
> k.
>
> Wie verändert sich denn jetzt die Gauß'sche Summenformel
> für andere Grenzen?
>
> [mm]\summe_{i=2}^{n+1}k=\bruch{n*(n+2)}{2}[/mm] oder wie
> funktioniert das?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 01.12.2013 | | Autor: | SturmGhost |
> Hallo,
>
> ich habe ein paar Fragen.
>
> > Es ist eine Aufgabe zur vollständigen Induktion. Den
> > ganzen Kram davor habe ich aber bewusst weggelassen, da
> > dieser klar ist.
> >
> > Die Aufgabe war:
> >
> > Z.z.: [mm]\summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}*\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}[/mm]
>
> Soll die Summe vielleicht bei [mm]k=2[/mm] anfangen?
> Für welche [mm]n\in\IN[/mm] sollst du das genau zeigen?
> Soll das schon der Induktionsschritt sein?
Nein das ist die Gleichung von der ich angefangen habe. Habe mich vertan mit Induktion. Hier geht es um einen direkten Beweis - Entschuldigung.
Verifizieren Sie die Gleichung [mm] \summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}\cdot{}\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
>
> >
> > Soweit ich verstanden habe erhält man die Anzahl der
> > Summanden der Summe über die "Formel": Obere Grenze -
> > Untere Grenze + 1.
>
> Das würde ich gerne verstehen. Kannst du das mal bitte
> erläutern?
>
Damit meine ich eine Rechnung um herauszufinden wie viele Summanden die Summe enthält - würde man alle Aufschreiben wollen.
> Gruß
> DieAcht
Naja und das Ergebnis ist ja dann [mm] \bruch{3n+n^2}{2}-n \Rightarrow \bruch{n^2+n}{2} [/mm] und das war zu zeigen, wenn man die rechte Seite der Anfangsgleichung noch umformt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:42 Mo 02.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > Hallo,
> >
> > ich habe ein paar Fragen.
> >
> > > Es ist eine Aufgabe zur vollständigen Induktion. Den
> > > ganzen Kram davor habe ich aber bewusst weggelassen, da
> > > dieser klar ist.
> > >
> > > Die Aufgabe war:
> > >
> > > Z.z.: [mm]\summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}*\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > Soll die Summe vielleicht bei [mm]k=2[/mm] anfangen?
> > Für welche [mm]n\in\IN[/mm] sollst du das genau zeigen?
> > Soll das schon der Induktionsschritt sein?
>
> Nein das ist die Gleichung von der ich angefangen habe.
> Habe mich vertan mit Induktion. Hier geht es um einen
> direkten Beweis - Entschuldigung.
>
> Verifizieren Sie die Gleichung
> [mm]\summe_{i=2}^{n+1}\bruch{2}{k}\cdot{}\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Der Index muss trotzdem bei $k=2$ beginnen!
Zu zeigen: [mm]\summe_{k=2}^{n+1}\bruch{2}{k}\cdot{}\vektor{k \\ 2}=\vektor{n+1 \\ 2}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
In Kurzfassung nochmal:
[mm] \summe_{k=2}^{n+1}\bruch{2}{k}\cdot{}\vektor{k \\ 2}=(\summe_{k=2}^{n+1}k-1)=n+1-1+(\summe_{k=1}^{n}k)-n=\frac{n(n+1)}{2}=\vektor{n+1 \\ 2} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
>
> >
> > >
> > > Soweit ich verstanden habe erhält man die Anzahl der
> > > Summanden der Summe über die "Formel": Obere Grenze -
> > > Untere Grenze + 1.
> >
> > Das würde ich gerne verstehen. Kannst du das mal bitte
> > erläutern?
> >
>
> Damit meine ich eine Rechnung um herauszufinden wie viele
> Summanden die Summe enthält - würde man alle Aufschreiben
> wollen.
Danke, jetzt habe ich es verstanden was du meinst!
>
>
> > Gruß
> > DieAcht
>
> Naja und das Ergebnis ist ja dann [mm]\bruch{3n+n^2}{2}-n \Rightarrow \bruch{n^2+n}{2}[/mm]
> und das war zu zeigen, wenn man die rechte Seite der
> Anfangsgleichung noch umformt.
DieAcht
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Habe noch eine weitere Aufgabe und wollte nur Fragen ob ich alles richtig gemacht habe. Es geht um einen direkten Beweis von:
[mm] \vektor{n \\ k-1}=\bruch{k}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k}
[/mm]
Lösung:
[mm] \gdw \bruch{n!}{(k-1)!*(n-(k-1))!}=\bruch{k*(n+1)!}{(n+1)*k!*(n-k+1)!}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}
[/mm]
Subst. n-k=m
[mm] \Rightarrow \bruch{n!}{(k-1)!*(m+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(m+1)!} [/mm] w.z.z.w
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Hallo SturmGhost,
> Habe noch eine weitere Aufgabe und wollte nur Fragen ob ich
> alles richtig gemacht habe. Es geht um einen direkten
> Beweis von:
>
> [mm]\vektor{n \\ k-1}=\bruch{k}{n+1}*\vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> Lösung:
>
> [mm]\gdw \bruch{n!}{(k-1)!*(n-(k-1))!}=\bruch{k*(n+1)!}{(n+1)*k!*(n-k+1)!}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}[/mm]
>
Alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Subst. n-k=m
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{n!}{(k-1)!*(m+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(m+1)!}[/mm]
> w.z.z.w
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 So 01.12.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Cool. Danke. :)
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Jetzt brauche ich aber mal eure Hilfe. Es gibt hierfür bestimmt eine Vereinfachung.
Also Folgende Aussage soll nachgewiesen werden:
[mm] \vektor{n+1 \\ k}=\vektor{n \\ k-1}+\vektor{n-1 \\ k}+\vektor{n-1 \\ k-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k!*((n+1)-k)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-(k-1))!}+\bruch{(n-1)!}{k!*(n-1)-k)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*((n-1)-(k-1))!}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k!*((n-k+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}+\bruch{(n-1)!}{k!*((n-k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!}
[/mm]
Und jetzt sehe ich den Weg vor lauter Fakultäten nicht mehr. Muss ich jetzt ernsthaft einen Hauptnenner suchen (Also alles Nenner multiplizieren) und alles auf einen Bruch schreiben und dann kürzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 So 01.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo SturmGhost!
Du hast doch den Vorteil, dass Du durch die linke Seite der Gleichung weißt, wo Du mit der rechten Seite landen willst.
Es gilt:
$k! \ = \ k*(k-1)!$
$(n-k+1)! \ = \ (n-k)!*(n-k+1) \ = \ (n-k-1)!*(n-k)*(n+k+1)$
Siehst Du nun, wie Du die drei Brüche rechts jeweils erweitern musst?
Gruß
Loddar
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Nicht so wirklich. Also ich habe mal alle Fakultäten soweit vereinfacht wie es meiner Meinung nach Sinn macht also:
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k!\cdot{}(n-k+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!\cdot{}(n-k+1)!}+\bruch{(n-1)!}{k!\cdot{}(n-k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot{}(n-k)!}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k*(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!*(n-k)*(n-k+1)}=\bruch{n!}{(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!*(n-k)*(n-k+1)}+\bruch{(n-1)!}{k*(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!*(n-k)}
[/mm]
Also muss ich jetzt den ersten Bruch auf der rechten Seite mit k erweitern, den zweiten mit (n-k)*(n-k+1) und den dritten mit k*(n-k+1), oder? Oh Gott...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 So 01.12.2013 | | Autor: | chrisno |
Lass den linken Nenner in Ruhe. Nun schau Dir den ersten Bruch rechts vom Gleichheitszeichen an. Was fehlt dem noch, damit der Nenner der gleiche wie links ist?
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Na k fehlt also insgesammt:
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k\cdot{}(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)\cdot{}(n-k+1)}=\bruch{n!}{(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)\cdot{}(n-k+1)}+\bruch{(n-1)!}{k\cdot{}(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k\cdot{}(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)\cdot{}(n-k+1)}=\bruch{n! \red{ *k}}{\red{k*} (k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)\cdot{}(n-k+1)}+\bruch{(n-1)!\red{*(n-k)\cdot{}(n-k+1)}}{k\cdot{}(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\red{*(n-k)\cdot{}(n-k+1)}}+\bruch{(n-1)!\red{*(n-k+1)*k}}{(k-1)!\cdot{}(n-k-1)!\cdot{}(n-k)\red{*(n-k+1)*k}}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{[n!*k]+[(n-1)!*(n-k)*(n-k+1)]+[(n-1)!*(n-k+1)*k]}{k*(k-1)!*(n-k-1)!*(n-k)*(n-k+1)}
[/mm]
Wie klammere ich das denn nun aus um kürzen zu dürfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach es nicht so umständlich
multipliziere die Ganze Gl. mit dem ersten Nenner
also $ [mm] \gdw \bruch{(n+1)!}{k!\cdot{}(n-k+1)!}=\bruch{n!}{(k-1)!\cdot{}(n-k+1)!}+\bruch{(n-1)!}{k!\cdot{}(n-k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(k-1)!\cdot{}(n-k)!} [/mm] $ [mm] |*k!\cdot{}(n-k+1)!
[/mm]
dann kürze indm du (n-k+1)!=(n-k-1)*(n-l)*(n-k-1)! schreibst, k!=k*(k-1)!
dann sollten alle Nenner wegfallen
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 So 01.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, 2 einfache Zähle auszurechnen und schon o Gott?
aber warum multiplizierst du nicht die Gleichung mit dem größten Nenner, also dem links?
dann musst du nicht erweitern, nur kürzen.
Gruss leduart
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