Summen durch Integrale absch. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 So 03.08.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Ich frage mich, wie genau ich Summen durch Integrale abschätzen kann.
Ich weiß und verstehe warum
[mm] \int^n_0 [/mm] f(x) dx [mm] \approx \sum^{n-1}_{i=0} [/mm] f(i+h) für h [mm] \in [/mm] [0,1) ist.
Aber woher weiß ich nun genau, ob das Integral größer oder kleiner ist?
Auf unseren Folien wird beispielsweise gesagt:
[mm] \sum^{n-1}_{i=0}i^2 \leq \int^n_0 x^2 [/mm] dx
und
[mm] \sum^{n-1}_{i=0}i^2 \geq \int^{n-1}_0 x^2 [/mm] dx
Wie genau erkenne ich soetwas?
danke!
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> Hallo!
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> Ich frage mich, wie genau ich Summen durch Integrale
> abschätzen kann.
> Ich weiß und verstehe warum
> [mm]\int^n_0[/mm] f(x) dx [mm]\approx \sum^{n-1}_{i=0}[/mm] f(i+h) für h [mm]\in[/mm]
> [0,1) ist.
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> Aber woher weiß ich nun genau, ob das Integral größer oder
> kleiner ist?
> Auf unseren Folien wird beispielsweise gesagt:
> [mm]\sum^{n-1}_{i=0}i^2 \leq \int^n_0 x^2[/mm] dx
> und
> [mm]\sum^{n-1}_{i=0}i^2 \geq \int^{n-1}_0 x^2[/mm] dx
>
> Wie genau erkenne ich soetwas?
Wenn Du Dir mal eine grobe Skizze des Graphen von $f(x):= [mm] x^2$ [/mm] machst und dann die Summen als Näherungssummen von Rechecksflächen interpretierst (Rechtecksflächen, die alle dieselbe Breite 1 haben), dann wirst Du sehen, dass die Summe auf der linken Seite der ersten Ungleichung eine Untersumme des Integrals auf rechten Seite ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der zweiten Ungleichung, andererseits, steht auf der linken Seite der Ungleichung eine Obersumme des Integrals auf der rechten Seite:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und allgemein gilt ja, dass der Wert eines Integrals immer grösser oder gleich seine Untersummen sowie immer kleiner oder gleich seine Obersummen ist:
[mm]U_n \leq \int_a^b f(x)\; dx\leq O_n, \text{ für alle $n$}[/mm]
Bei Summen in den obigen Ungleichungen handelt es sich um die Untersumme bzw. die Obersumme bei Unterteilung des Integrationsintervalls $[0;n]$ bzw. $[0;n-1]$ in Teilintervalle derselben Länge 1.
Etwas unglücklich scheint mir die Änderung der oberen Integrationsgrenze von $n$ auf $n-1$ bei der zweiten Ungleichung. In Anlehnung an die obige Ungleichung zwischen Integral und seinen Untersummen [mm] $U_n$ [/mm] bzw. Obersummen [mm] $O_n$ [/mm] fände ich es besser, dies so zu schreiben:
[mm]\sum\limits_{i=0}^{n-1} i^2 \leq \int\limits_0^n x^2\; dx\leq \sum\limits_{i=1}^n i^2[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 03.08.2008 | | Autor: | Wimme |
wow, danke für die Mühe!!
Verstehe ich es richtig, dass ich [mm] i^2 [/mm] als meine Funktion f(i+h) interpretieren muss, und deswegen auch bei dieser summe:
[mm] \sum_{i=0}^{n-1} i^2 [/mm] die Abstände immer 1 sind?
Mir leuchtet aber noch immer deine letzte Ungleichung nicht richtig ein. Wieso kann sich diese Ungleichung auf einmal umdrehen, wenn ich nur ein bisschen an den Grenzen rumspiele?
Ich müsste doch eigentlich sowas definieren wie:
Untersumme: ich nehme immer das Minimum des Intervalls
Obersumme: Ich nehme immer das Maximum des Intervalls.
Das kann ich aus dieser Summendefinition aber nicht herauslesen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 03.08.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wow, danke für die Mühe!!
>
> Verstehe ich es richtig, dass ich [mm]i^2[/mm] als meine Funktion
> f(i+h) interpretieren muss, und deswegen auch bei dieser
> summe:
> [mm]\sum_{i=0}^{n-1} i^2[/mm] die Abstände immer 1 sind?
Ja
> Mir leuchtet aber noch immer deine letzte Ungleichung nicht
> richtig ein. Wieso kann sich diese Ungleichung auf einmal
> umdrehen, wenn ich nur ein bisschen an den Grenzen
> rumspiele?
> Ich müsste doch eigentlich sowas definieren wie:
> Untersumme: ich nehme immer das Minimum des Intervalls
> Obersumme: Ich nehme immer das Maximum des Intervalls.
>
> Das kann ich aus dieser Summendefinition aber nicht
> herauslesen :(
Das gilt hier aber, weil [mm] x^2 [/mm] ne monoton steigende funktion ist!
Gruss leduart
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