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Hallo,
heute komme ich mal wieder mit einer Frage daher.
Innerhalb eines Beweises stoße ich auf folgende Summe:
[mm] \sum_{n=0}^l\frac{(n+k)!}{n!},\quad k\in\IN
[/mm]
Ich frage mich nun, wie ich diese auswerten kann. Mathematica hat mir freundlicherweise schon das Ergebnis von [mm] \frac{(1+l) (1+k+l)!}{(1+k) (1+l)!} [/mm] ausgespuckt. Aber wie kommt man allein mit dem Abakus auf diese Lösung?
Ich bedanke mich für eure Hinweise!
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Hallo,
falls Du dies als "mit dem Abakus" akzeptierst:
man weiß oder liest, daß
für die Summe verschobener Binomialkoeffizienten gilt
[mm] \sum_{n=0}^l \binom{n+k}k [/mm] = [mm] \binom{k+l+1}{k+1}. [/mm]
Es ist nun
[mm] \sum_{n=0}^l\frac{(n+k)!}{n!}
[/mm]
[mm] =\sum_{n=0}^l\frac{(n+k)!k!}{n!k!}
[/mm]
[mm] =k!*\sum_{n=0}^l\vektor{n+k\\k}
[/mm]
[mm] =k!*\binom{k+l+1}{k+1}
[/mm]
[mm] =k!*\frac{(k+l+1)!}{(k+1)!l!}
[/mm]
[mm] =\frac{(k+l+1)!}{(k+1)*l!}
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Di 17.11.2015 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine Antwort!
Manchmal dreht man sich bei solchen Umformungen einfach im Kreis und sieht die Lösung nicht.
Dankeschön. Du hast mir sehr geholfen. Der Beweis ist damit komplett.
Habt noch einen schönen Resttag!
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