Summenformel < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:04 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Occidio |
Hallo!
Ich brauche für die Lösung einer Aufgabe die Summenformel, aber für Kubikzahlen.
Ich habe die Summenformeln für einfache Zahlen:
[mm] \bruch{n*(n+1)}{2}
[/mm]
...und auch für quadrat Zahlen:
[mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}
[/mm]
Aber wie sieht das nun für Kubikzahlen aus???
Danke schonmal für die hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Occidio |
Jetzt komme ich weiter! Ich bedanke mich!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 14.02.2005 | | Autor: | silkiway |
Hast du das LS Analysis Buch für den Leistungskurs von Klett als Schulbuch?
lg silke
|
|
|
| |
|
Hallo Occidio,
Ich vermute, daß man sogar für jede mögliche Potenzsumme eine Summenformel angeben kann:
[m]\forall z \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}\exists p\left( x \right): = a_{z + 1} x^{z + 1} + a_z x^z + \ldots + a_0 x^0 :\sum\limits_{k = 0}^n {k^z } = p\left( x \right)[/m]
Allerdings ist das im Moment nur eine Vermutung meinerseits. Ich denke, die obige Formel wurde schon längst von irgendjemandem bewiesen. Lies dir dazu auch folgenden Beitrag von mir durch. Das Ganze sollte für deinen Fall $(z = [mm] 3)\!$ [/mm] so aussehen:
[m]\begin{gathered}
\sum\limits_{k = 0}^n {k^3 } = a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = p\left( x \right) \hfill \\
\Rightarrow p\left( 0 \right): = 0 \Rightarrow a_0 = 0 \hfill \\
\Rightarrow p\left( 1 \right): = p\left( 0 \right) + 1^3 = 1 \hfill \\
\Rightarrow p\left( 2 \right): = p\left( 1 \right) + 2^3 = 9 \hfill \\
\Rightarrow p\left( 3 \right): = p\left( 2 \right) + 3^3 = 27 + 9 = 36 \hfill \\
\Rightarrow p\left( 4 \right): = p\left( 3 \right) + 4^3 = 36 + 64 = 100 \hfill \\
\hfill \\
a_4 + a_3 + a_2 + a_1 = 1 \hfill \\
16a_4 + 8a_3 + 4a_2 + 2a_1 = 9 \hfill \\
81a_4 + 27a_3 + 9a_2 + 3a_1 = 36 \hfill \\
256a_4 + 64a_3 + 16a_2 + 4a_1 = 100 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit ist folgendes Gleichungssystem zu lösen:
[m]\pmat{
1 & 1 & 1 & 1 &\vline & 1 \\
{16} & 8 & 4 & 2 &\vline & 9 \\
{81} & {27} & 9 & 3 &\vline & {36} \\
{256} & {64} & {16} & 4 &\vline & {100}
}[/m]
Hat man das getan (z.B. mit dem Gauss-Jordan-Verfahren), erhält man:
[m]\pmat{
1 & 0 & 0 & 0 &\vline & {\frac{1}
{4}} \\
0 & 1 & 0 & 0 &\vline & {\frac{1}
{2}} \\
0 & 0 & 1 & 0 &\vline & {\frac{1}
{4}} \\
0 & 0 & 0 & 1 &\vline & 0
}[/m]
Damit lautet das Polynom für die obige Summenformel:
[m]\forall x \in \mathbb{N} \cup \left\{ 0 \right\}:p\left( x \right) = \frac{1}
{4}x^4 + \frac{1}
{2}x^3 + \frac{1}
{4}x^2 = \frac{{x^2 \left( {x + 1} \right)^2 }}
{4}[/m]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
hier
