Summenformel beweisen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
[mm] \vektor{n \\ 0}+\vektor{n \\ 1}+\vektor{n \\ 2}+...+\vektor{n \\ n}=2^n [/mm] |
Hallo!
Meine Überlegungen:
Das Ganze per Induktion zu beweisen, erscheint mir im Moment am sinnvollsten.
Folgendes soll also bewiesen werden:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^n
[/mm]
IA: n=0
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=\vektor{0 \\ 0}=1
[/mm]
[mm] 2^0=1
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
IS:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}+2^{n+1}=2^n+2^{n+1}=6^n
[/mm]
Damit habe ich aber nichts bewiesen. Wie geht es richtig?
Danke.
Gruß
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Sa 29.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist das wirklich ne Aufgabe aus Klasse 9 Realschule?
Dann kennst du sicher den binomoschen Lehrsatz für [mm] (a+b)^{n}
[/mm]
Den kannst du aud [mm] (1+1)^{n} [/mm] anwenden und bist fertig.
Zu deinem Ansatz:
> Beweisen Sie folgende Aussage:
> [mm]\vektor{n \\ 0}+\vektor{n \\ 1}+\vektor{n \\ 2}+...+\vektor{n \\ n}=2^n[/mm]
>
> Hallo!
>
> Meine Überlegungen:
> Das Ganze per Induktion zu beweisen, erscheint mir im
> Moment am sinnvollsten.
>
> Folgendes soll also bewiesen werden:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=2^n[/mm]
>
> IA: n=0
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}=\vektor{0 \\ 0}=1[/mm]
>
> [mm]2^0=1[/mm]
richtig!
> [mm]\Box[/mm]
>
> IS:
> [mm]\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}+2^{n+1}=2^n+2^{n+1}=6^n[/mm]
Das ist falsch! denn nach Induktionsvors. ist
[mm] $\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}=2^{n}$
[/mm]
aber wieso kannst du die erste Summe so aufteilen?
Die Induktionbeh ist doch :
[mm] $\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}=2^{n+1}$
[/mm]
Du musst also zeigen dass [mm] $2*\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}$ [/mm] ist.
Gruss leduart
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Nein, das ist keine Aufgabe aus der 9. Klasse. Ich habe diese Aufgabe aus dem Königsberger Analysis I.
Danke.
Gruß
Alex
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> [mm]2*\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm]
Wie kommst du auf die 2 vor dem ersten Summenzeichen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Sa 29.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo drno
> > [mm]2*\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^{n+1} \vektor{n+1 \\ k}[/mm]
>
> Wie kommst du auf die 2 vor dem ersten Summenzeichen?
[mm] \summe_{k=0}^{n}=2^{n} [/mm] nach Ind. Vors,, [mm] 2*2^{n}=2^{n+1}
[/mm]
Gruss leduart
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