Summenformel umstellen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Fr 28.09.2012 | | Autor: | Ricc87 |
| Aufgabe | Hallo,
Gegeben ist folgende Summe,
[mm] \summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
welche der folgenden Summen sind dazu äquivalent.
[mm] 1.\summe_{l=4}^{n+3}l-3
[/mm]
[mm] 2.\summe_{k=1}^{N}k
[/mm]
[mm] 3.\summe_{j=3}^{n}(j-2)
[/mm]
[mm] 4.\summe_{k=1}^{n}l [/mm] |
Nachdem ich nun also mal bei allen Summen für n Zahlen eingesetzt habe, ist die erste Summe äquivalent.
Die 3. und 4 ja eigentlich nicht oder täusch ich mich da ? Bei der 2. bin ich mir unsicher wegen dem N.
Eine 2. Frage dazu. Wie darf ich die Variablen in einer Summe überhaupt umbenennen?
z.B.
[mm] \summe_{j=1}^{l}j^2 [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{n} (m+n)^k
[/mm]
ist es hier erlaubt zum Beispiel n,l oder m umzubennen ? l und m dürften ja eigentlich kein Problem sein oder?
Danke für eure Tipps.
Ricc
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Gegeben ist folgende Summe,
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm]
>
> welche der folgenden Summen sind dazu äquivalent.
>
> [mm]1.\summe_{l=4}^{n+3}l-3[/mm]
>
> [mm]2.\summe_{k=1}^{N}k[/mm]
>
> [mm]3.\summe_{j=3}^{n}(j-2)[/mm]
>
> [mm]4.\summe_{k=1}^{n}l[/mm]
> Nachdem ich nun also mal bei allen Summen für n Zahlen
> eingesetzt habe, ist die erste Summe äquivalent.
>
> Die 3. und 4 ja eigentlich nicht oder täusch ich mich da ?
4. ist eigentlich nichts anderes als
[mm] $$\sum_{k=1}^n l=l+l+...+l=n*l\,.$$
[/mm]
(Ist Dir das klar? Beispiel: [mm] $\sum_{k=1}^5 3=3+3+3+3+3=5*3\,.$)
[/mm]
Das ist i.a. nicht das gleiche wie bei der Ausgangssumme!
3. kann man auch einfach umschreiben:
[mm] $$\sum_{j=3}^n (j-2)=\sum_{\ell=1}^{n\red{\;-2}}\ell\,.$$
[/mm]
Da hat man also i.a. zu wenig Summanden, auch, wenn das der Ausgangs-
summe verdammt ähnlich sieht!
Aber natürlich ist Dein Weg auch okay: Wenn man zeigt, dass für konkrete
Zahlen schon nicht das gleiche rauskommt, wird das im allg. auch nicht
gelten!
Wer hat eigentlich die Aufgabe gestellt? Von "äquivalenten Summen"
zu reden ist nicht so das wahre. Man kann einfach fragen, zu welcher
der folgenden Summen die obige gleich ist (für alle natürlichen [mm] $n\,$).
[/mm]
Und die erste ist so, wie sie oben steht, auch falsch - aber ich denke, dass
das ein Schreibfehler von Dir ist:
Es wäre
[mm] $$\sum_{l=4}^{n+3}l-3=(\sum_{l=4}^{n+3}l)-3$$
[/mm]
zu lesen. Du meinst aber sicher
[mm] $$\sum_{l=4}^{n+3}(l-3)$$
[/mm]
Machst Du da einen Indexshift bzw. eine Laufvariablenersetzung
(wir behandeln hier ja übrigens nur "endliche" Summen):
[mm] $$\sum_{l=4}^{n+3}(l-3)=\sum_{l \in \{4,...,n+3\}}(l-3)=\sum_{p \in \{4-3, \;5-3,\;\ldots,\;(n+3)-3\}}p=\sum_{p=1}^n [/mm] p$$
so siehst Du dann, dass die Summen gleich sind!
> Bei der 2. bin ich mir unsicher wegen dem N.
Ja, das ist blöd': Für [mm] $N=n\,$ [/mm] sind die Summen gleich, sonst halt nicht.
> Eine 2. Frage dazu. Wie darf ich die Variablen in einer
> Summe überhaupt umbenennen?
Das hängt davon ab, für was sie verwendet werden. Die obere Grenze
[mm] $n\,$ [/mm] ist etwa als Parameter anzusehen, also eine einmal gewählte, aber
dann im Folgenden immer als feste Zahl. Natürlich kannst Du [mm] $N:=n\,$
[/mm]
definieren und dann - aber auch nur mit diesem Zwischenschritt, wenn
nicht andernfalls eh schon [mm] $n=N\,$ [/mm] klar ist - auch [mm] $n\,$ [/mm] in [mm] $N\,$ [/mm] umbenennen,
aber einfach aus dem [mm] $n\,$ [/mm] ein [mm] $N\,$ [/mm] machen dürftest Du nicht. Die
"Laufvariablen" sind egal:
[mm] $$\sum_{k=1}^n k=\sum_{\text{MickyMaus}=1}^n \text{MickyMaus}\,.$$
[/mm]
> z.B.
>
> [mm]\summe_{j=1}^{l}j^2[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{n} (m+n)^k[/mm]
>
> ist es hier erlaubt zum Beispiel n,l oder m umzubennen ? l
> und m dürften ja eigentlich kein Problem sein oder?
Doch, weil das eigentlich Parameter sind, die "außerhalb der Summe"
festgelegt und festgehalten werden - gerade die darf man nicht einfach
mal wie man will austauschen. Für [mm] $n=3\,$ [/mm] und [mm] $m=7\,$ [/mm] ist ja auch
[mm] $$\sum_{k=1}^n [/mm] k$$
was anderes wie
[mm] $$\sum_{k=1}^m k\,,$$
[/mm]
und
[mm] $$\sum_{k=1}^7 [/mm] m$$
ist was anderes wie
[mm] $$\sum_{k=1}^7 n\,.$$
[/mm]
Deine obigen Laufvariablen [mm] $j\,$ [/mm] und [mm] $k\,$ [/mm] sind die, die eigentlich ausgetauscht werden dürfen. Stell's Dir - wie beim Programmieren -
wie bei einer "For-Schleife" vor.
> Danke für eure Tipps.
>
> Ricc
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Ricc87 |
Hallo,
zunächst möchte ich mich für deine Hilfe bedanken.
Also mit diesen Übungsaufgaben beglückt mich meine Professorin und davon hat sie noch einige :)
Bei der ersten Summe handelt es sich nicht um einen Schreibfehler, so wie die da steht, steht sie auch in der Aufgabe. Mir ist das gar nicht aufgefallen das die Klammer fehlt (ärgerlich), aber dann ist die also auch falsch. Das leuchtet ein.
Bei der 2. muss ich nochmals nachhaken.
Wie du sagtest muss bei der Summe n=N sein damit diese gleich sind. Wenn nun "n" in meiner Aufgabe nicht klar definiert ist, gilt das dann automatisch?
Wenn dem so ist wäre von meinen 4 Gleichungen ja nur die 2. richtig.
Dazu auch nochmals zur Umbenennung.
Angenommen laut Aufgabenstellung wird das Endglied einer Reihe gesucht. Ist es dann nicht egal ob ich es als n-tes Glied oder als N-tes Glied bezeichne? Solange ich es durchgehend in der ganzen Aufgabe so handhabe?
Danke für die Hilfe.
Gruß
Ricc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Sa 29.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> zunächst möchte ich mich für deine Hilfe bedanken.
>
> Also mit diesen Übungsaufgaben beglückt mich meine
> Professorin und davon hat sie noch einige :)
>
> Bei der ersten Summe handelt es sich nicht um einen
> Schreibfehler, so wie die da steht, steht sie auch in der
> Aufgabe. Mir ist das gar nicht aufgefallen das die Klammer
> fehlt (ärgerlich), aber dann ist die also auch falsch. Das
> leuchtet ein.
ja, ich würde aber, wenn Du das Aufgabenblatt löst, erstmal
hinschreiben, dass die Summe, so, wie sie da steht, auch nicht
mit der Ausgangssumme übereinstimmt (sie "falsch"zu nennen
ist etwas unpassend - man weiß aber, was Du meinst). Und dann
würde ich hinschreiben, dass sie mit der Ausgangssumme übereinstimmen
würde, wenn man die Klammern setzt. Denn ich denke, dass das
dann ein "Druckfehler" war.
> Bei der 2. muss ich nochmals nachhaken.
> Wie du sagtest muss bei der Summe n=N sein damit diese
> gleich sind. Wenn nun "n" in meiner Aufgabe nicht klar
> definiert ist, gilt das dann automatisch?
Nein, das gilt eben nicht automatisch!
> Wenn dem so ist wäre von meinen 4 Gleichungen ja nur die
> 2. richtig.
So, wie sie da stehen, stimmt von den 4 SUMMEN keine mit der
AUSGANGSSUMME überein. Gleichungen stehen da ja noch nicht
mal. Pass' ein wenig mit Deiner Ausdrucksweise auf!
> Dazu auch nochmals zur Umbenennung.
> Angenommen laut Aufgabenstellung wird das Endglied einer
> Reihe gesucht. Ist es dann nicht egal ob ich es als n-tes
> Glied oder als N-tes Glied bezeichne? Solange ich es
> durchgehend in der ganzen Aufgabe so handhabe?
Es ist nur dann egal, wenn man sowas sagt wie:
Zeigen Sie, dass für JEDES $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass
[mm] $$\sum_{k=1}^n k=n/2*(n+1)\,.$$
[/mm]
Das kannst Du genauso formulieren als:
Zeigen Sie, dass für jedes $p [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$\sum_{k=1}^p k=p/2*(p+1)\,.$$
[/mm]
Und auch als:
Zeigen Sie, dass für JEDES $N [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass
[mm] $$\sum_{\ell=1}^N \ell=N/2*(N+1)\,.$$
[/mm]
Aber wenn Du sie "koppelst", also sagst: Für $n,p [mm] \in \IN$ [/mm] gilt, dass
[mm] $$n/2*(n+1)=\sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^p [/mm] k=p/2*(p+1)$$
ist das was anderes.
(Man könnte diese Behauptung dann auch formulieren als:
Für alle Paare $(n,p) [mm] \in \IN^2$ [/mm] gilt, dass
[mm] $$n/2*(n+1)=\sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^p k=p/2*(p+1)\,.$$
[/mm]
Diese Behauptung ist übrigens (in fast offensichtlicher Weise) eine falsche
Aussage!)
Das ist auch ein bisschen schwer, das vernünftig auszudrücken: Solange
Variablen noch irgendwie "beliebig frei" sind und das auch bleiben (denen
kommt im Verlauf der Aufgabe halt an keiner Stelle mal irgendeine spezielle
Bedeutung zu - grob gesagt ), kann man sie umbenennen. (Blöd'
formuliert: Ersetzbare Variablen sind umbenennbar!) Wenn sie aber "zwar
beliebig frei wählbar sind, aber nach einer Wahl auch fest bleiben" (sowas
wie Parameter), dann kann man sie ab der Stelle, wo sie "speziell"
werden, danach nicht mehr "einfach so" mal umbenennen
- es sei denn, die neue Variable wird eh als die alte definiert.
Aber dann ist der Sinn der Umbenennung eigentlich unklar: Warum
läßt man die Variable dann nicht so benannt, wie sie war?
(Ich mach' das etwa bei Texten im MR schon manchmal in der Tat so, weil
ich halt schneller eine Variable mit [mm] $w\,$ [/mm] als mit [mm] $\omega$ [/mm] abgetippt habe.
Dann setze ich, falls das möglich ist, einfach an einer Stelle [mm] $w:=\omega$
[/mm]
und schreibe meinen Text mit [mm] $w\,$ [/mm] weiter. Aber das ist eher ein
abtipptechnischer Grund denn eine Notwendigkeit!)
Und selbst da bin ich mir nicht sicher, ob's vielleicht ein wenig zuviel
ist, was ich behaupte.
Am besten überlegt man sich halt immer, wenn
man Variablen umbenennen will, ob sich da eine Bedeutung ändert
oder eben nicht. Wenn sich die Bedeutung ändert: VORSICHT!
Wenn sich da keine Bedeutung ändert: GUT!
(Hast Du schonmal programmiert? Wenn man da Variablen benutzt, kann
man sich doch am Algorithmus klar machen, an welcher Stelle man durch
eine "plötzliche" Variablenumbenennung etwas "ändert" oder eben nicht.
Wenn man eine Variable umbenennt, sollte man dies immer tun. Und zum
Beispiel sollte man nicht sowas machen: Man liest für eine Variable [mm] $n\,$
[/mm]
einen Wert ein, und läßt dann eine Schleife über die "Laufvariable" [mm] $n\,$
[/mm]
starten.
Ich meine das etwa so: Wenn man [mm] $n=10\,$ [/mm] hat, dann kann man
eigentlich nicht mehr [mm] $\sum_{n=1}^5 a_n$ [/mm] schreiben. Denn es ist dann
unklar, ob [mm] $\sum_{n=1}^5 a_n=a_1+...+a_5\,,$ [/mm] oder
[mm] $\sum_{n=1}^5 a_{10}$ [/mm] meint. Man baut sich so quasi "Unsinn" bzw.
Dinge, die nicht mehr definiert sind!)
Machen wir nochmal einige kleine Beispiele:
1.)
[mm] $$\sum_{k=1}^n p=\underbrace{p+p+...+p}_{n\text{ Summanden}}=n*p\,.$$
[/mm]
[mm] $$\sum_{m=1}^n p=\underbrace{p+p+...+p}_{n\text{ Summanden}}=n*p\,.$$
[/mm]
Das sind die gleichen Summen!
2.)
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n\,.$$
[/mm]
[mm] $$\sum_{\ell=1}^n a_\ell=a_1+a_2+...+a_n\,.$$
[/mm]
Auch dieses sind zwei gleiche Summen!
3.)
[mm] $$\sum_{k=1}^n p=\underbrace{p+p+...+p}_{n\text{ Summanden}}=n*p\,.$$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^N p=\underbrace{p+p+...+p}_{N\text{ Summanden}}=N*p\,.$$
[/mm]
I.a. gilt: Nur für [mm] $n=N\,$ [/mm] stehen da zwei gleiche Summen!
4.)
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+...+a_n\,.$$
[/mm]
[mm] $$\sum_{\ell=1}^N a_\ell=a_1+a_2+...+a_N\,.$$
[/mm]
I.a. gilt: Nur für [mm] $n=N\,$ [/mm] stehen da zwei gleiche Summen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 30.09.2012 | | Autor: | Ricc87 |
Danke für deine Hilfe, du hast mir echt weiter geholfen.
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