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Forum "Differenzialrechnung" - Summenformeln für Potenzen
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Summenformeln für Potenzen: Beweis per vollständ. Induk.
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:13 Mi 19.10.2005
Autor: theCXT

Hallo,

ich haben im Mathe-Leistungskurs (Vortrag) die Aufgabe gekriegt, die Summenformeln für Potenzen per vollständiger Induktion zu beweisen. Das sind:
1 + 2 + 3 + ... + n = n/2 (n + 1)
1²+ 2² + 3² + ... + n² = n/6 (n + 1) (2n + 1)
1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²/4 (n + 1) ²
1 + [mm] 2^4 [/mm] + [mm] 3^4 [/mm] + ... [mm] +n^4 [/mm] = n/30 (n+1) (2n + 1) (3n²+ 3n + 1)

Mein Ansatz für die 2er-Potenzen war folgender:

Induktionsanfang: Untersuchung für k = 1
1² = 1/6 *2 *3
stimmt

Induktionsschritt:
1² + 2² + ... + k² + (k+1)² = 1/6 k (k+1)(2k+1)+(k+1)
Wie kann ich hier weiterverfahren um die Summenformel zu beweisen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Summenformeln für Potenzen: Induktion
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:28 Mi 19.10.2005
Autor: informix

Hallo theCXT,
[willkommenmr]
> Hallo,
>  
> ich haben im Mathe-Leistungskurs (Vortrag) die Aufgabe
> gekriegt, die Summenformeln für Potenzen per vollständiger
> Induktion zu beweisen. Das sind:
>  1 + 2 + 3 + ... + n = n/2 (n + 1)
>  1²+ 2² + 3² + ... + n² = n/6 (n + 1) (2n + 1)
>  1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ = n²/4 (n + 1) ²
>  1 + [mm]2^4[/mm] + [mm]3^4[/mm] + ... [mm]+n^4[/mm] = n/30 (n+1) (2n + 1) (3n²+ 3n +
> 1)
>  
> Mein Ansatz für die 2er-Potenzen war folgender:
>  
> Induktionsanfang: Untersuchung für k = 1
>  1² = 1/6 *2 *3
>  stimmt
>  
> Induktionsschritt:
>  1² + 2² + ... + k² + (k+1)² = 1/6 k (k+1)(2k+1)+(k+1)
>  Wie kann ich hier weiterverfahren um die Summenformel zu
> beweisen?

[guckstduhier] MBInduktion oder MBInduktion2
lies dir diese Seite mal durch und versuche dann den Induktionsschritt selbst zu machen!

Tipp: die ersten k Summanden kannst du als [mm] $\bruch{k}{6}(k+1)(2k+1) [/mm] $ nach Induktionsannahme zusammenfassen!

Gruß informix

Bezug
                
Bezug
Summenformeln für Potenzen: Versuch
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Do 20.10.2005
Autor: theCXT

Na gut, dann probier ich mal:
1² + 2² + ... + k² + (k+1)² = 1/6 k (k+1)(2k+1)+(k+1) war meine letzte Zeile. Wenn ich die beiden Quellen richtig verstanden habe müsste ich jetzt über Termumformungen weitergehen.
1/6k (k+1)(2k+1)+(k+1) = 1/6k 2(k+1)(2k+1) = 1/3k 2(k+1)(2k+1)
Also entweder ich hätte es jetzt damit geschafft (da ja jetzt statt k+1 ein 2(k+1) steht) oder ich hab Mist gebaut. Kann das bitte jemand überprüfen?

Bezug
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