Summenproblem < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] die Summe der natürlichen Zahlen bis n und [mm] \beta [/mm] die Summe der natürlichen Zahlen von a bis b, plus eine Konstante r:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
[mm] \beta [/mm] = r + [mm] \summe_{j=a}^{b}j
[/mm]
n,r,a,b [mm] \in \IN, [/mm] es gilt 1 [mm] \le [/mm] r < a
Bestimme für gegebene a,r ein b, so dass gilt [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] für geeignetes n.
Gibt es eine triviale Lösung für die Wahl von b, die immer ein gültiges Ergebnis liefert?
Gibt es noch eine andere Lösung, als die triviale?
Gilt das für beliebige a,r ? |
Die triviale Lösung hab ich schon raus. Die Gleichung geht immer auf für b = [mm] \summe_{i=1}^{a-1} [/mm] - r, denn
[mm] \beta [/mm] = r + [mm] \summe_{j=1}^{b}j [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{a-1}k [/mm] = r + b + [mm] \summe_{j=1}^{b-1}j [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{a-1}k [/mm] = r + [mm] \summe_{i=1}^{a-1} [/mm] - r + [mm] \summe_{j=1}^{b-1}j [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{a-1}k [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{b-1}j
[/mm]
Wenn b also die triviale Lösung ist, bleibt immer noch genau [mm] \summe_{j=1}^{b-1}j [/mm] stehen, dann setzt man n = (b-1) und ist fertig. Ok soweit.
Aber bei der Frage, welche ausser der trivialen Lösung es noch gibt komme ich einfach nicht weiter. Hab nochmal versucht das etwas umzuformen. Weil a und r feste Werte sind, hab ich die zur Übersicht einfach mal substituiert:
[mm] \beta [/mm] = r + [mm] \summe_{j=1}^{b}j [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{a-1}k [/mm] = [mm] (\summe_{j=1}^{b}j) [/mm] - q
Das ist schon übersichtlicher, und man sieht deutlich, dass die Folge [mm] \beta [/mm] eigentlich zu [mm] \alpha [/mm] identisch ist, und ihr nur ein bisschen hinterher läuft.
Man muss also bestimmen, wo die beiden sich treffen. Das einzige, was ich weiss ist, dass dann gelten muss n < b, klar. Und wenn q = 0 ist, dann sind die Folgen wirklich identisch, also treffen die sich überall. Aber sobald man die verschiebt (also q > 0) wird's irgendwie chaotisch...
Hat da jemand mal einen Vorschlag, wie man da weitermacht ?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
Hi,
> Sei [mm]\alpha[/mm] die Summe der natürlichen Zahlen bis n und
> [mm]\beta[/mm] die Summe der natürlichen Zahlen von a bis b, plus
> eine Konstante r:
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n}i[/mm]
>
> [mm]\beta[/mm] = r + [mm]\summe_{j=a}^{b}j[/mm]
>
> n,r,a,b [mm]\in \IN,[/mm] es gilt 1 [mm]\le[/mm] r < a
>
> Bestimme für gegebene a,r ein b, so dass gilt [mm]\beta[/mm] =
> [mm]\alpha[/mm] für geeignetes n.
>
> Gibt es eine triviale Lösung für die Wahl von b, die
> immer ein gültiges Ergebnis liefert?
> Gibt es noch eine andere Lösung, als die triviale?
> Gilt das für beliebige a,r ?
> Die triviale Lösung hab ich schon raus. Die Gleichung
> geht immer auf für b = [mm]\summe_{i=1}^{a-1}[/mm] - r, denn
>
> [mm]\beta[/mm] = r + [mm]\summe_{j=1}^{b}j[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{a-1}k[/mm] = r +
> b + [mm]\summe_{j=1}^{b-1}j[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{a-1}k[/mm] = r +
> [mm]\summe_{i=1}^{a-1}[/mm] - r + [mm]\summe_{j=1}^{b-1}j[/mm] -
> [mm]\summe_{k=1}^{a-1}k[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{b-1}j[/mm]
>
> Wenn b also die triviale Lösung ist, bleibt immer noch
> genau [mm]\summe_{j=1}^{b-1}j[/mm] stehen, dann setzt man n = (b-1)
> und ist fertig. Ok soweit.
> Aber bei der Frage, welche ausser der trivialen Lösung es
> noch gibt komme ich einfach nicht weiter. Hab nochmal
> versucht das etwas umzuformen. Weil a und r feste Werte
> sind, hab ich die zur Übersicht einfach mal substituiert:
>
> [mm]\beta[/mm] = r + [mm]\summe_{j=1}^{b}j[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{a-1}k[/mm] =
> [mm](\summe_{j=1}^{b}j)[/mm] - q
>
> Das ist schon übersichtlicher, und man sieht deutlich,
> dass die Folge [mm]\beta[/mm] eigentlich zu [mm]\alpha[/mm] identisch ist,
> und ihr nur ein bisschen hinterher läuft.
> Man muss also bestimmen, wo die beiden sich treffen. Das
> einzige, was ich weiss ist, dass dann gelten muss n < b,
> klar. Und wenn q = 0 ist, dann sind die Folgen wirklich
> identisch, also treffen die sich überall. Aber sobald man
> die verschiebt (also q > 0) wird's irgendwie chaotisch...
>
> Hat da jemand mal einen Vorschlag, wie man da weitermacht
> ?
>
Könntest du nicht einfach die Gleichung nach b umformen?
Also in etwa so:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \beta$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n}i [/mm] = r + [mm] \summe_{i=a}^{b}i$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n}i [/mm] = r + [mm] \summe_{i=1}^{b}i [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{a-1}i$
[/mm]
Jetzt die Gaußsche Summenformel:
$ [mm] \frac{n*(n+1)}{2} [/mm] = r + [mm] \frac{b*(b+1)}{2} [/mm] - [mm] \frac{(a-1)*(a-2)}{2}$
[/mm]
Das ist doch jetzt eine einfache quadratische Gleichung in b. Die Größen a und r sind gegeben und das n muss noch passend gewählt werden.
Rechnerisch sehe ich bei meiner Idee keinen Fehler, aber ich weiß nicht, ob du damit dein Problem lösen kannst....
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
lg weightgainer
|
|
|
| |
|
Ein kleiner Fehler ist da doch drin, es muss heissen:
[mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] = r + [mm] \bruch{b*(b+1)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{a*(a-1)}{2}
[/mm]
das kann man dann umformen zu
[mm] \bruch{n^2+n}{2} [/mm] = r + [mm] \bruch{b^2+b}{2} [/mm] - [mm] \bruch{a^2-a}{2}
[/mm]
[mm] n^2 [/mm] + n = 2r + [mm] b^2 [/mm] + b - [mm] a^2 [/mm] + a
(n + [mm] \bruch{1}{2})^2 [/mm] = 2r + [mm] b^2 [/mm] + b - [mm] a^2 [/mm] + a + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
n + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2r + b^2 - a^2 + a + b + \bruch{1}{4}}
[/mm]
n = [mm] \wurzel{(b + \bruch{1}{2})^2 - a^2 + a + 2r} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
wenn man nun für gegebene a und r q einsetzt, mit q = [mm] a^2 [/mm] - a - 2r, erhält man
n = [mm] \wurzel{(b + \bruch{1}{2})^2 - q} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Alles klar soweit. Wie kann ich jetzt herausfinden, an welchen Stellen n [mm] \in \IN [/mm] ist?
|
|
|
| |
|
> Ein kleiner Fehler ist da doch drin, es muss heissen:
>
> [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm] = r + [mm]\bruch{b*(b+1)}{2}[/mm] -
> [mm]\bruch{a*(a-1)}{2}[/mm]
Sorry, blöder Fehler.
>
> das kann man dann umformen zu
>
> [mm]\bruch{n^2+n}{2}[/mm] = r + [mm]\bruch{b^2+b}{2}[/mm] - [mm]\bruch{a^2-a}{2}[/mm]
>
> [mm]n^2[/mm] + n = 2r + [mm]b^2[/mm] + b - [mm]a^2[/mm] + a
>
> (n + [mm]\bruch{1}{2})^2[/mm] = 2r + [mm]b^2[/mm] + b - [mm]a^2[/mm] + a +
> [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>
> n + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\wurzel{2r + b^2 - a^2 + a + b + \bruch{1}{4}}[/mm]
>
> n = [mm]\wurzel{(b + \bruch{1}{2})^2 - a^2 + a + 2r}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> wenn man nun für gegebene a und r q einsetzt, mit q = [mm]a^2[/mm]
> - a - 2r, erhält man
>
> n = [mm]\wurzel{(b + \bruch{1}{2})^2 - q}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
War nicht die Frage, wie das b heißen muss?
Ich weiß, das ändert nichts an deiner Frage, denn auch b sollte ja natürlich sein.
>
> Alles klar soweit. Wie kann ich jetzt herausfinden, an
> welchen Stellen n [mm]\in \IN[/mm] ist?
Ich komme nur so weit, einen Term zu haben, der eine Quadratzahl ergeben muss:
Weil n ganz, muss die Wurzel also [mm] \frac{u}{2} [/mm] ergeben mit u ungerade, weil ja noch [mm] \frac{1}{2} [/mm] subtrahiert wird. Also muss der Radikand [mm] \frac{u^{2}}{4} [/mm] sein. Wenn man jetzt alles auf einen Bruch schreibt, steht da so etwas wie
[mm] $4b^{2} [/mm] + 4b + 1 - [mm] a^{2} [/mm] + a + 2r = [mm] u^{2}$
[/mm]
Aber ob der Ansatz in die richtige Richtung weist, wage ich mal zu bezweifeln.
Vielleicht gibt es noch ein paar nette Sätze aus dem Bereich, die man vor bzw. statt meiner Rechnung nutzen kann - die kenne ich allerdings nicht..... Vielleicht lässt sich auch was über Restklassen machen oder so, aber da muss ich passen.
lg weightgainer
|
|
|
|
