Summenwerte von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Mi 11.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Summenwerte der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{3^{k} -2 ^ {k+1}} {6^{k}} [/mm] |
Wie fange ich an? Bei der geometrischen Reihe war das noch verständlich, hier ist das jedoch keine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mi 11.11.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo sae!
Das Stichwort "geometrische Reihe" ist schon sehr gut.
Nur dass wir hier noch etwas umformen müssen, um dorthin zu gelangen.
$ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k-2^{k+1}}{6^k}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{6^k}-\bruch{2^{k+1}}{6^k}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{3^k}{6^k}-2*\bruch{2^k}{6^k}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{3^k}{6^k}-2*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^k}{6^k}$
[/mm]
Kommst Du jetzt weiter, wenn Du noch die Brüche etwas zusammenfasst?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 11.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Kann ich die Brüche nicht einfach kürzen, sodass das k rausfällt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mi 11.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{6}-\bruch{4}{6})^2
[/mm]
So? Und nun?
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{3}{6}-\bruch{4}{6})^2[/mm]
>
> So? Und nun?
Hä? Wie kommst du darauf ?
Es ist :
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\frac{3^k - 2^{k-1}}{6^k} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\frac{3^k}{6^k} [/mm] - [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}\frac{2^k}{6^k} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{6})^k [/mm] - [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{2}{6})^k$
[/mm]
Na und nun denke an die geometrische Reihe.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Ich habe hier als Summenwert -2 herausbekommen. Kann das jemand kontrollieren?
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Hallo,
> Ich habe hier als Summenwert -2 herausbekommen. Kann das
> jemand kontrollieren?
Es stimmt leider nicht ...
Rechne am besten mal vor!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Do 12.11.2015 | | Autor: | X3nion |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{6})^k [/mm] - [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{2}{6})^k [/mm]
Zur Vereinfachung kannst du noch die Brüche vereinfachen, also:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^k [/mm] - [mm] 2\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^k [/mm]
Gruß Christian
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> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{6})^k[/mm] -
> [mm]2\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{2}{6})^k[/mm]
>
> Zur Vereinfachung kannst du noch die Brüche vereinfachen,
> also:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^k[/mm] - [mm]2\summe_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^k[/mm]
Oh, [mm] $\infty-\infty$ [/mm] - nicht schön 
>
> Gruß Christian
>
Gruß
schachuzipus
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Schau mal genau hin ..
Du addierst unendlich oft eine Konstante in beiden Summen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 12.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Oh Pardon!
Das passiert, wenn man Copy&Paste macht ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
hatte das von Thomas_Aut übernommen!
Ich meinte natürlich:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^k [/mm] - [mm] 2\summe_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{3})^k [/mm]
Gruß X³nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Ist der folgende Ansatz richtig?
[mm] s_{n}=\bruch{a_0*(1-q^n^+^1)}{1-q}-2*\bruch{a_0*(1-q^n^+^1)}{1-q}
[/mm]
Dann müsste ich ja eigentlich nur noch einsetzen.
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Hallo,
> Ist der folgende Ansatz richtig?
>
> [mm]s_{n}=\bruch{a_0*(1-q^n^+^1)}{1-q}-2*\bruch{a_0*(1-q^n^+^1)}{1-q}[/mm]
Wieso nun diese endlichen Summen?
>
> Dann müsste ich ja eigentlich nur noch einsetzen.
Das steht doch schon 1000 mal im thread ...
Es ist doch [mm]\sum\limits_{k\ge 0}q^k=\frac{1}{1-q}[/mm] für [mm]|q|<1[/mm]
Einsetzen und ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Also gilt
[mm] s_{n}=\bruch{a_0\cdot{}(1-q^n^+^1)}{1-q}
[/mm]
nur für endliche Summen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
[mm] \frac{1}{1-q} [/mm] - 2* [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] =
[mm] \frac{1}{1-1/2} [/mm] - 2* [mm] \frac{1}{1-3/2} [/mm] = -1
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] - 2* [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] =
>
> [mm]\frac{1}{1-1/2}[/mm] - 2* [mm]\frac{1}{1-3/2}[/mm] = -1
>
> Korrekt?
Nein ! sondern
[mm]\frac{1}{1-1/2}[/mm] - 2* [mm]\frac{1}{1-1/3}[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:17 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Sorry, falsch abgeschrieben! Die -1 stimmen ja.  Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 12.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Etwas interessant wie du auf 1 - [mm] \frac{3}{2} [/mm] gekommen bist, und damit trotzdem das richtige Ergebnis -1 bekommst. Aber ich denke, du hast verstanden wie es geht
Gruß X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Hab auf meinem Blatt die Rechnung richtig gehabt, nur falsch abgetippt! So kommt das zustande.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Do 12.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Wird gemacht!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:14 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich die Brüche nicht einfach kürzen, sodass das k
> rausfällt?
Das ist eine ganz hervorragende Idee, welche die Mathematik dramatisch vereinfacht ! Für reelle Zahlen a und b mit b [mm] \ne [/mm] 0 und einer natürlichen Zahl k gilt also:
[mm] \bruch{a^k}{b^k}= \bruch{a}{b}.
[/mm]
Wählt man b=1, so ergibt sich für alle a und k:
[mm] a^k=a.
[/mm]
Ist speziell k=2, so liefert dies
[mm] a^2=a.
[/mm]
Daher gibt es nur 2 reelle Zahlen: a=0 und a= 1.
Wow !!!
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Do 12.11.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred!
> > Kann ich die Brüche nicht einfach kürzen, sodass das k
> > rausfällt?
>
> Das ist eine ganz hervorragende Idee, welche die Mathematik
> dramatisch vereinfacht ! Für reelle Zahlen a und b mit b
> [mm]\ne[/mm] 0 und einer natürlichen Zahl k gilt also:
>
> [mm]\bruch{a^k}{b^k}= \bruch{a}{b}.[/mm]
>
> Wählt man b=1, so ergibt sich für alle a und k:
>
> [mm]a^k=a.[/mm]
>
> Ist speziell k=2, so liefert dies
>
> [mm]a^2=a.[/mm]
>
> Daher gibt es nur 2 reelle Zahlen: a=0 und a= 1.
>
>
> Wow !!!
Wie bereits bekannt hat Freddy Fred Feuerstein folgende Bezeichnungen eingeführt:
1) Lineare Wurzelzieher
2) Lineare Quadrierer
3) Lineare Logarithmierer
Frage: Welche Bezeichnung liegt hier nahe?
Beste Grüße
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred!
>
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> > > Kann ich die Brüche nicht einfach kürzen, sodass das k
> > > rausfällt?
> >
> > Das ist eine ganz hervorragende Idee, welche die Mathematik
> > dramatisch vereinfacht ! Für reelle Zahlen a und b mit b
> > [mm]\ne[/mm] 0 und einer natürlichen Zahl k gilt also:
> >
> > [mm]\bruch{a^k}{b^k}= \bruch{a}{b}.[/mm]
> >
> > Wählt man b=1, so ergibt sich für alle a und k:
> >
> > [mm]a^k=a.[/mm]
> >
> > Ist speziell k=2, so liefert dies
> >
> > [mm]a^2=a.[/mm]
> >
> > Daher gibt es nur 2 reelle Zahlen: a=0 und a= 1.
> >
> >
> > Wow !!!
>
> Wie bereits bekannt hat Freddy Fred Feuerstein folgende
> Bezeichnungen eingeführt:
>
> 1) Lineare Wurzelzieher
> 2) Lineare Quadrierer
> 3) Lineare Logarithmierer
>
> Frage: Welche Bezeichnung liegt hier nahe?
Pickepackekürzer ?
FRED
>
>
> Beste Grüße
> DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Do 12.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Zitat Freddy Fred Feuerstein:
> Das ist eine ganz hervorragende Idee, welche die Mathematik dramatisch vereinfacht ! <
Ich berichte mal vom Nachrichtenmagazin der Postillon
Link: www.der-postillon.com/2012/08/mathemuffel-erleichtert-wert-von-x-ein.html?m=1
Selbstverständlich wurden vom Max-Planck-Institut noch weitere Vorkehrungen zur Vereinfachung der so komplexen Mathematik getroffen!
Denn laut des 'seriösen' Nachrichtenmagazins Der Postillon wurde der "Wert von x ein für alle Mal auf 5 gesetzt", so steht es im Beitrag.
"Seit Jahren", so das Nachrichtenmagazin, "mühen sich Generationen von Schülern, Studenten, Physikern und Mathematikern bei dem Versuch ab, immer wieder den Wert von x zu ermitteln".
Deshalb ist das Max-Planck-Institut viele Rechenaufgaben der vergangenen 100 Jahre durchgegangen und hat den Mittelwert davon berechnet, etwa [mm] 5,149291\overrightarrow{31}.
[/mm]
Dies sei jedoch eine recht komplizierte Zahl, laut Professor Benedikt Rascop. Zur Vereinfachung wurde sie folglich auf 5 abgerundet und der Wert x auf 5 gesetzt.
Des Weiteren legten die "Wissenschaftler auch endgültige Werte für a (1), b (3), c (10), y (2) und z (29) fest", wie der Postillon berichtet.
Was würden wir nur ohne das Max-Planck-Institut machen!! ![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]")
Es sei, um Missverständnissen vorzubeugen, für diejenigen die es nicht wissen erwähnt: der Postillon ist ein Satiremagazin
Viele Grüße,
Christian
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
, da dies jeglichen Regeln der 
Potenzgesetze![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
