Summenwerte von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Fr 13.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Hab die Aufgabe mittlerweile Lösen können! 
Nächste Aufgabe:
Berechnen Sie die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 19 und dann allgemein von 1 bis 2n-1.
Teil eins sollte klar sein.
[mm] \summe_{n=1}^{19}2n-1
[/mm]
[mm] s_{19}=(2*1-1)+(2*2-1) [/mm] + ... (2*19-1)
[mm] s_{19}= [/mm] 100
Gibts eine einfachere Möglichkeit, als die Summenwerte alle einzeln zusammenzurechnen? Hierbei handelt es sich ja nicht um eine geometrische Reihe, daher kann ich
[mm] s_{n}=\bruch{1-q^n^+^1}{1-q}
[/mm]
nicht anwenden.
Gibts also einen schnelleren Weg?
Zum zweiten Teil:
[mm] \summe_{n=1}^{2n-1}2n-1
[/mm]
Ist der Ansatz so richtig? Das "bis 2n-1" irritiert mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hab die Aufgabe mittlerweile Lösen können!
>
> Nächste Aufgabe:
> Berechnen Sie die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis
> 19 und dann allgemein von 1 bis 2n-1.
>
> Teil eins sollte klar sein.
Ist es aber nicht.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{19}2n-1[/mm]
1. Du solltest Klammern setzen: [mm]\summe_{n=1}^{19}(2n-1)[/mm]
2. Mit [mm]\summe_{n=1}^{19}(2n-1)[/mm] berechnest Du:
1+3+5+...+37
3. Richtig wäre
[mm]\summe_{n=1}^{10}(2n-1)[/mm] .
> [mm]s_{19}=(2*1-1)+(2*2-1)[/mm] + ... (2*19-1)
> [mm]s_{19}=[/mm] 100
>
> Gibts eine einfachere Möglichkeit, als die Summenwerte
> alle einzeln zusammenzurechnen? Hierbei handelt es sich ja
> nicht um eine geometrische Reihe, daher kann ich
>
> [mm]s_{n}=\bruch{1-q^n^+^1}{1-q}[/mm]
>
> nicht anwenden.
>
> Gibts also einen schnelleren Weg?
>
> Zum zweiten Teil:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{2n-1}2n-1[/mm]
"n" wo man hinschaut ! Das geht in die Hose.
>
> Ist der Ansatz so richtig?
Nein.
Richtig ist [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)[/mm]
FRED
> Das "bis 2n-1" irritiert mich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Fr 13.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
[mm] s_{n}=(2*1-1)+(2*2-1)+...+(2n-1) [/mm] wäre ja dann die gesamte Summe. Kann ich das noch weiter zusammenfassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]s_{n}=(2*1-1)+(2*2-1)+...+(2n-1)[/mm] wäre ja dann die gesamte
> Summe. Kann ich das noch weiter zusammenfassen?
Ja:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1)=2*\summe_{k=1}^{n}k-n$
[/mm]
Den geschlossenen Ausdruck für [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] kennst Du sicher.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Fr 13.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED!
> Den geschlossenen Ausdruck für $ [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] $ kennst Du sicher.
Den Verdacht in Betracht ziehend, dass der Professor des Fragestellers einiges an Unsinn zu labern scheint, wäre ich mir da gar nicht so sicher! ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Lg X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED!
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> > Den geschlossenen Ausdruck für [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm] kennst Du
> sicher.
>
> Den Verdacht in Betracht ziehend, dass der Professor des
> Fragestellers einiges an Unsinn zu labern scheint, wäre
> ich mir da gar nicht so sicher!
Hallo $X^3nion$,
da könntest Du natürlich recht haben. Ich frage mich immer noch, was dieser Professor von Beruf ist
Gruß FRED
P.S.: wenn ich fragen darf: Xenion (griechisch) oder Xenium (lateinisch) bedeutet doch "Gastgeschenk" oder auch "Spottgedicht" oder auch "Aussage, die eine Weisheit enthält". Was trifft auf Dich nun zu ?
>
> Lg X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:38 Fr 13.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
> P.S.: wenn ich fragen darf: Xenion (griechisch) oder Xenium (lateinisch) bedeutet doch
> "Gastgeschenk" oder auch "Spottgedicht" oder auch "Aussage, die eine Weisheit enthält".
> Was trifft auf Dich nun zu ?
na selbstverständlich Letzteres, die Weisheit enthaltende Aussage!
nein Spaß beiseite, dass es so etwas heißt wusste ich gar nicht - wo hast du das denn gefunden?
Auf meinen Spitznamen, den ich auf vielen anderen Plattformen im Internet benutze, bin ich auch durch eine Schulkameradin gekommen, die "Xenia" hieß. Durch Stöbern, woher der Name stammt, bin ich auf das griechische Wort "xenios" gestoßen, welches "gastfreundlich" bedeutet. Durch ein bisschen Rumspielerei bei der Nicknamesuche bin ich auf X3nion gekommen.
Denn Gastfreundlichkeit trifft auf meine Familie und mich zu, sowie eine allgemeine Freundlichkeit, Nettigkeit und Liebenswürdigkeit. Selbstverständlich kann ich hin und wieder auch manchmal ein wenig fies / frech sein, wie man gerade an meinem letzten Beitrag sehen kann. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") Deshalb auch die Anlehnung an "Xenion", welches "Sinnspruch", "Epigramm", "kurzes Spottgedicht" bedeuten kann.
Aber im Vordergrund soll selbstverständlich die (Gast-)freundlichkeit stehen!
Gruß X³nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 13.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Den geschlossenen Ausdruck kenne ich leider nicht! :x
Und wie komme ich von [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] auf [mm] 2\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k-n [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Fr 13.11.2015 | | Autor: | X3nion |
> Den geschlossenen Ausdruck kenne ich leider nicht! :x
Was sagte ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Fr 13.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Den geschlossenen Ausdruck kenne ich leider nicht! :x
>
> Und wie komme ich von [mm]\summe_{k=1}^{n}(2k-1)[/mm] auf
> [mm]2\cdot{}\summe_{k=1}^{n}k-n[/mm] ?
>
>
[mm] $\summe_{k=1}^{n}(2k-1)=\summe_{k=1}^{n}2k-\summe_{k=1}^{n}1=2*\summe_{k=1}^{n}k-\summe_{k=1}^{n}1$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^{n}1=1+1+...1=n$
[/mm]
Weiter gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n}k= \bruch{n(n+1)}{2}
[/mm]
Das kannst Du induktiv beweisen.
Damit bekommen wir:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}(2k-1)=\summe_{k=1}^{n}2k-\summe_{k=1}^{n}1=2*\summe_{k=1}^{n}k-\summe_{k=1}^{n}1=n(n+1)-n=n^2$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Fr 13.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Den geschlossenen Ausdruck kenne ich leider nicht! :x
das ist der kleine Satz von Gauß ( oder der kleine Gauß - zumal er ja auch noch
klein war, als er ihn entdeckte ;) ):
[mm] $2*\sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n k=\sum_{k=1}^n k+\sum_{k=1}^n (n+1-k)=\sum_{k=1}^n (k+n+1-k)=\sum_{k=1}^n (n+1)=n*(n+1)\,,$
[/mm]
also
[mm] $\sum_{k=1}^n k=n*(n+1)/2\,.$
[/mm]
Schulmäßiger:
Es sei [mm] $S(n):=\sum_{k=1}^n k\,,$ [/mm] dann gilt (die zweite Zeile wegen der Kommutativität
der Addition)
[mm] $\begin{matrix}\red{1}&+&2&+&\red{3}\ldots&+&(n-1)&+&\red{n}=S(n)\\\red{n}&+&(n-1)&+&\red{(n-2)}\ldots&+&2&+&\red{1}=S(n)\end{matrix}$
[/mm]
Addiere diese beiden Gleichungen, und Du siehst
[mm] $n*(n+1)=2*S(n)\,.$
[/mm]
(Beachte: [mm] $\red{1+n}=2+(n-1)=\red{3+(n-2)}=...=(n-1)+2=\red{n+1}=n+1\,.$)
[/mm]
P.S. Die Formel kann man sich so nämlich direkt ohne Induktion herleiten,
wenn man das ein paar Mal gemacht hat, schon quasi im Kopf! 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:52 Fr 13.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schön formuliert Marcel!
> Ja so war das, als 9-jähriger Schüler entdeckte er diese
> Summenformel, und in seiner Doktorarbeit formulierte er den
> Fundamentalsatz der Algebra - ein wahres Genie
>
> www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm
>
> Auf dieser Seite findest du, sae0693, die Herleitung der
> Sommenformel der Quadratzahlen.
> Sie ist zwar ein wenig schwerer als beim vom Marcel
> vorgeführten kleinen Gauss, aber falls dir mal langweilig
> ist kannst du sie dir ja anschauen - schadet nie!
die Idee hier, die schulwürdig ist, finde ich auch gut:
![[]](/images/popup.gif) http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/SummeQuadratzahlen.pdf
Man macht erstmal einen "naheliegenden Ansatz" mit einem "Polynom mit
*noch unbekannten Parametern*", ermittelt damit die Parameter und zeigt,
dass das Polynom in der Tat das gewünschte leistet.
Beispiel: Für [mm] $QS(n):=\sum_{k=1}^n k^2$ [/mm] setzt man
[mm] $QS(n)=an^3+bn^2+cn$
[/mm]
an.
Man ermittelt aus den Bedingungen
[mm] $QS(1)=1\,,$ [/mm] $QS(2)=5$ und $QS(3)=14$
dann, dass dann notwendig
$a=1/3,$ $b=1/2$ und $c=1/6$
sein muss.
Nun gilt
[mm] $QS(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=:f(n)$
[/mm]
genau dann, wenn
[mm] $QS(n+1)-QS(n)=(n+1)^2$
[/mm]
identisch mit
$f(n+1)-f(n)$
ist. Nun
[mm] $f(n+1)-f(n)=\frac{1}{3}(n+1)^3+\frac{1}{2}(n+1)^2+\frac{1}{6}(n+1)-(\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n)$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}((n+1)^3-n^3)+\frac{1}{2}((n+1)^2-n^2)+\frac{1}{6}((n+1)-n)$
[/mm]
[mm] $=\ldots$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{3}(3n^2+3n+1)+\frac{1}{2}(2n+1)+\frac{1}{6}$
[/mm]
[mm] $=n^2+n+\frac{1}{3}+n+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=n^2+2n+\frac{2+3+1}{6}=n^2+2n+1=(n+1)^2$.
[/mm]
Achja: Ich habe irgendwann irgendwo im Forum sowohl den kleinen Gauß
als auch die Formel für die Summe der Quadratzahlen mit der Abelschen
partiellen Summation hergeleitet. Kann man auch suchen und sich angucken.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Sa 14.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Marcel und Hallo an alle anderen,
ja das stimmt, Polynome sind weitaus intuitiver - Polynomgleichungen lösen ist ja in der Schule quasi auf der Tagesordnung.
Was ich mich bei diesem Beweis allerdings immer schon gefragt habe: wieso nimmt man bei der Summe der natürlichen Zahlen den quadratischen Ansatz, bei der Summe der quadratischen Zahlen den kubischen Ansatz usw...
Dazu habe ich bisher noch keine Erklärungen gefunden. Es scheint aber doch irgendwie eine Logik dahinterzustecken.
Deinen Beitrag über den Beweis des kleinen Gauss bzw. der Summe der Quadratzahlen durch die partielle abelsche Summation habe ich gefunde!
matheraum.de/forum/Kleiner_Gauss_und_Summe_ueber_Qu/t1054773
Viele Grüße und ein schönes Wochenende,
X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 So 15.11.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel und Hallo an alle anderen,
>
> ja das stimmt, Polynome sind weitaus intuitiver -
> Polynomgleichungen lösen ist ja in der Schule quasi auf
> der Tagesordnung.
> Was ich mich bei diesem Beweis allerdings immer schon
> gefragt habe: wieso nimmt man bei der Summe der
> natürlichen Zahlen den quadratischen Ansatz, bei der Summe
> der quadratischen Zahlen den kubischen Ansatz usw...
>
> Dazu habe ich bisher noch keine Erklärungen gefunden. Es
> scheint aber doch irgendwie eine Logik dahinterzustecken.
naja, wenigstens eine Intuition kann ich Dir geben:
Wenn ich ein Polynom n-ten Grades "integriere" (eine Stammfunktion suche),
dann kommt ein Polynom (n+1)-en Grades raus.
Gruß,
Marcel
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