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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:19 Sa 04.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
| Aufgabe 1 | Es seien n,p,q,r und so positive ganze Zahlen. Berechen
[mm] \summe_{j=1}^{n}(j [/mm] + 1)
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| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{a=-p}^{q}a [/mm] |
| Aufgabe 3 | | [mm] \produkt_{a=3}^{5}(\summe_{b=2}^{4}(a-b)) [/mm] |
| Aufgabe 4 | | [mm] \summe_{i=1}^{r}\summe_{j=1}^{s}(i [/mm] + 1) j |
bei der ersten bekomme ich als Lösung [mm] \bruch{(n + 3) n}{2}
[/mm]
bei der zwieten bin ich mir nicht sicher ob das stimmt
= (-p) + (-p+1)+...+(q-1) + q
ich habe dann [mm] \bruch{((-p)+q) (q-(-p)+1)}{2}
[/mm]
und als Ergebnis habe ich es mal so angeschreiben
[mm] \bruch{-p(p+1) + q(q + 1)}{2}
[/mm]
bei der dritten habe ich keine Durchblick!
bei der vierten habe ich als Ergebnis [mm] \bruch{r(r + 3) s(s + 1)}{2}
[/mm]
meine Frage stimmen 1,2 und 4 und wie muss ich bei 3 vorgehen??
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Hallo!
> bei der ersten bekomme ich als Lösung [mm]\bruch{(n + 3) n}{2}[/mm]
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Zum Beispiel wegen
[mm] \summe_{j=1}^{n}(j+1) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}(j) [/mm] + [mm] \summe_{j=1}^{n}(1) [/mm] = [mm] \bruch{n*(n+1)}{2} [/mm] + n = [mm] n*\left(\bruch{n+1}{2} + 1\right) [/mm] = [mm] n*\left(\bruch{n+1}{2} + \bruch{2}{2}\right) [/mm] = [mm] n*\left(\bruch{n+3}{2}\right). [/mm]
Aber natürlich gibt es auch noch andere Lösungswege. 
> bei der zwieten bin ich mir nicht sicher ob das stimmt
>
> = (-p) + (-p+1)+...+(q-1) + q
>
> ich habe dann [mm]\bruch{((-p)+q) (q-(-p)+1)}{2}[/mm]
> und als
> Ergebnis habe ich es mal so angeschreiben
>
> [mm]\bruch{-p(p+1) + q(q + 1)}{2}[/mm]
>
Die Idee ist richtig, das Ergebnis auch! Einfacher geht es aber auch, indem du die Summe aufteilst (ich gehe jetzt mal davon aus, dass p,q > 0, auch wenn du das nicht explizit geschrieben hast)
[mm] \summe_{a=-p}^{q}(a) [/mm] = [mm] \summe_{a=1}^{q}(a) [/mm] + [mm] \summe_{a=-p}^{0}(a) [/mm] = [mm] \bruch{q*(q+1)}{2} [/mm] + [mm] \summe_{a=0}^{p}(-a) [/mm] = [mm] \bruch{q*(q+1)}{2} [/mm] - [mm] \summe_{a=0}^{p}(a) [/mm] = [mm] \bruch{q*(q+1)}{2} [/mm] - [mm] \bruch{p*(p+1)}{2}.
[/mm]
Damit erhalte ich dein Ergebnis .
> bei der dritten habe ich keine Durchblick!
Na dort müsste am Ende eine Zahl rauskommen! Schließlich summierst du über bekannte Indizes. Man rechnet z.B. wie folgt:
[mm] \produkt_{a=3}^{5}\left(\summe_{b=2}^{4}(a-b)\right)
[/mm]
= [mm] \produkt_{a=3}^{5}\left(\summe_{b=2}^{4}(a) - \summe_{b=2}^{4}(b)\right)
[/mm]
Und weil a unabhängig von dem Laufindex b der Summe ist, musst du nur gucken, wie oft praktisch die Aufsummierung getätigt wird, soviele a's entstehen dann auch. Bei der inneren Summe werden drei Aufsummierungen getätigt, nämlich einmal für b = 2, b = 3, und b = 4. D.h. es kommen 3 a's dazu. (Denk drüber nach!)
= [mm] \produkt_{a=3}^{5}\left(3a - 9\right)
[/mm]
Und nun noch dieses Produkt auswerten! Du musst ausrechnen:
= (3*3 - 9) * (4*3 - 9) * (5 * 3-9)
kommt nichts Spektakuläres raus
> bei der vierten habe ich als Ergebnis [mm]\bruch{r(r + 3) s(s + 1)}{2}[/mm]
Das stimmt fast, ein kleiner Fehler ist dir unterlaufen. Hier nochmal der Rechenweg:
[mm] \summe_{i=1}^{r}\left(\summe_{j=1}^{s}\left((i+1)*j\right)\right)
[/mm]
Da i unabhängig von dem Laufindex der inneren Summe ist, kann es als Konstante vor die Summe gezogen werden:
= [mm] \summe_{i=1}^{r}\left((i+1)*\summe_{j=1}^{s}\left(j\right)\right)
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{r}\left((i+1)*\left(\bruch{s*(s+1)}{2}\right)\right)
[/mm]
Da s unabhängig vom Laufindex der äußeren Summe ist, kann es als Konstante vor die Summe gezogen werden:
= [mm] \left(\bruch{s*(s+1)}{2}\right)*\summe_{i=1}^{r}\left(i+1\right)
[/mm]
Mit dem aus a) berechneten Ergebnis erhalten wir
= [mm] \left(\bruch{s*(s+1)}{2}\right)*\left(\bruch{r*(r+3)}{2}\right)
[/mm]
und das ist ...
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:39 Sa 04.10.2008 | | Autor: | csak1162 |
bei der dritten kapiere ich nicht warum 3a?
und bei der vierten habe ich
$ [mm] \summe_{i=1}^{r} [/mm] (i+1) [mm] \summe_{j=1}^{s}{}j [/mm] $
und dann einfach erste teil wei bei der ersten und zweiten teil normal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 04.10.2008 | | Autor: | clwoe |
> bei der dritten kapiere ich nicht warum 3a?
Ist doch ganz einfach!
Du hast: [mm] \summe_{b=2}^{4}(a-b)=(a-2)+(a-3)+(a-4)=3a-9
[/mm]
Und darüber bildest du jetzt dein Produkt.
>
> und bei der vierten habe ich
Hier weiß ich nicht was das Problem ist. Im Post vorher hast du es ganz genau drinstehen!
> [mm]\summe_{i=1}^{r} (i+1) \summe_{j=1}^{s}{}j[/mm]
>
> und dann einfach erste teil wei bei der ersten und zweiten
> teil normal
>
Gruß,
clwoe
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