Summenzeichen Indizes unklar < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Für natürliche Zahlen i1, i2, . . . , ik mit i1 +i2 +...+ik = n definieren wir
[mm] \pmat{n \\ i1, i2,..., ik} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{i1! i2!...ik!}.
[/mm]
Beweisen sie die folgenden Variante der binomischen Formel: Es seien
[mm] a_{1},..., a_{k} \in \IC [/mm] mit k [mm] \ge [/mm] 2 und es sei n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
[mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},i_{2}...i_{k} \in \IN; i_{1}+i_{2}+...+i_{k}=n}^{} \vektor{n \\ i_{1}, i_{2},..., i_{k}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}...a_{k}^{i_{k}}.
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe von der Aufgabe jetzt noch keine Ansätze, da es bei mir schon bei der Aufgabenstellung hapert.
Und zwar weiß ich nicht, wie man bei dem letzten Summenzeichen den Index verstehen soll. Von wo bis wo geht die Summe?
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Sa 05.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Für natürliche Zahlen i1, i2, . . . , ik mit i1 +i2
> +...+ik = n definieren wir
> [mm]\pmat{n \\ i1, i2,..., ik}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{i1! i2!...ik!}.[/mm]
>
> Beweisen sie die folgenden Variante der binomischen Formel:
> Es seien
> [mm]a_{1},..., a_{k} \in \IC[/mm] mit k [mm]\ge[/mm] 2 und es sei n [mm]\in \IN.[/mm]
> Dann gilt:
> [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}[/mm] = [mm]\summe_{i_{1},i_{2}...i_{k} \in \IN; i_{1}+i_{2}+...+i_{k}=n}^{} \vektor{n \\ i_{1}, i_{2},..., i_{k}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}...a_{k}^{i_{k}}.[/mm]
>
> Ich habe von der Aufgabe jetzt noch keine Ansätze, da es
> bei mir schon bei der Aufgabenstellung hapert.
Mach Induktion nach $k$ 
> Und zwar weiß ich nicht, wie man bei dem letzten
> Summenzeichen den Index verstehen soll. Von wo bis wo geht
> die Summe?
Die Summe geht ueber alle Paare [mm] $(i_1, i_2, \dots, i_k)$, [/mm] deren Eintraege [mm] $i_j$ [/mm] in [mm] $\{ 0, 1, 2, \dots, n \}$ [/mm] liegen und fuer die [mm] $i_1 [/mm] + [mm] i_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] i_k [/mm] = n$ gilt. Sei diese Menge mit [mm] $I_{k,n}$ [/mm] bezeichnet. Dann hast du da die Summe [mm] $\sum_{(i_1, \dots, i_k) \in I_{k,n}} \vektor{n \\ i_1, i_2, \dots, i_k} a_1^{i_1} \cdots a_k^{i_k}$.
[/mm]
Fuer den Induktionsschritt beachte folgendes:
du kannst jedes [mm] $(i_1, \dots, i_k) \in I_{k,n}$ [/mm] auf genau eine Weise schreiben als [mm] $(i_1, \dots, i_{k-1}, [/mm] t)$ mit [mm] $(i_1, \dots, i_{k-1}) \in I_{k-1,n-t}$ [/mm] und $t [mm] \in \{ 0, \dots, n \}$. [/mm] Mit dieser Bemerkung ist [mm] $\sum_{(i_1, \dots, i_k) \in I_{k,n}} \vektor{n \\ i_1, i_2, \dots, i_k} a_1^{i_1} \cdots a_k^{i_k} [/mm] = [mm] \sum_{t=0}^n \sum_{(i_1, \dots, i_{k-1}) \in I_{k-1,n-t}} \vektor{n \\ i_1, i_2, \dots, i_{k-1}, t} a_1^{i_1} \cdots a_{k-1}^{i_{k-1}} a_k^t$. [/mm] Versuche nun hier die Formel fuer $k - 1$ einzusetzen, und verwende dann die binomische Formel.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 So 06.12.2009 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank schonmal für die Hilfe bis hier!
So.. mein Versuch zur Induktion:
Induktionsanfang: k = 2:
für die linke Seite:
[mm] (\summe_{i=1}^{2}a_{i})^{n} [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2})^{n}
[/mm]
= (nach dem binomischen Satz) [mm] a_{1}^{n}+\vektor{n\\1}a_{1}^{n-1} a_{2}+...+\vektor{n\\n-1}a_{1} a_{2}^{n-1}+\vektor{n\\n}a_{2}^{n}=
[/mm]
[mm] \summe_{l=0}^{n}(\vektor{n\\l}a_{1}^{n-l} a_{2}^{l}) =\summe_{l=0}^{n}(\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!} a_{1}^{n-l} a_{2}^{l}).
[/mm]
für die rechte Seite:
[mm] \summe_{i_{1},i_{2}\in\IN; i_{1}+i_{2}=n}(\vektor{i_{1}+i_{2}\\i_{1},i_{2}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}}) [/mm] = (nach Definition)
[mm] \summe_{i_{1},i_{2}\in\IN; i_{1}+i_{2}=n}(\bruch{(i_{1}+i_{2})}{i_{1}!i_{2}!}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}})
[/mm]
jetzt setze ich [mm] i_{2} [/mm] = l. Also [mm] i_{1} [/mm] = n - l. Bei dem nächsten Summenzeichen bin ich mir nicht sicher, ob die Indizes so stimmen... :
= [mm] \summe_{l=0}^{n}(\bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}). [/mm]
Beide Seiten zusammen:
[mm] \summe_{l=0}^{n}\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l} [/mm] - [mm] \bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l} [/mm] = 0
[mm] \gdw \summe_{l=0}^{n}(a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}(\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!} [/mm] - [mm] \bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!}) [/mm] = 0.
wenn ich jetzt wieder l = [mm] i_{2} [/mm] setzten darf, käme wirklich 0 raus.
Ich weiß nur nicht, ob ich bei dieser Rechnung nicht gegen zich Regeln verstoßen habe...
Jetzt habe ich den Induktionsschritt versucht, bin aber stecken geblieben:
zunächst k [mm] \to [/mm] k-1:
[mm] (\summe_{i=1}^{k-1}a_{i})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{i_{1},i_{2},...,i_{k-1} \in \IN; i_{1}+...+i_{k-1} = n} \vektor{n\\i_{1},i_{2},...,i_{k-1}}a_{1}^{i_{1}}...a_{k-1}^{i_{k-1}}.
[/mm]
Für die Summe bis k gilt nach Deiner Umformung:
[mm] \sum_{t=0}^n \sum_{(i_1, \dots, i_{k-1}) \in I_{k-1,n-t}} \vektor{n \\ i_1, i_2, \dots, i_{k-1}, t} a_1^{i_1} \cdots a_{k-1}^{i_{k-1}} a_k^t$ [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} \summe(\bruch{n!}{i_{1}!i_{2}!...i_{k-1}!}a_{1}^{i_{1}}...a_{k-1}^{i_{k-1}}) [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}
[/mm]
[mm] \gdw \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} (\summe_{i=1}^{k-1}a_{i})^{n} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}
[/mm]
Ich weiß nicht, ob es bis hierher überhaupt richtig ist, und wenn, weiß ich nicht wie weiter.
Ich hab es nochmal mit dem Binomischen Satz versucht, aber dabei bn ich auch stecken geblieben:
[mm] \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} (a_{1}+a_{2}+...+a_{k-1})^{n} [/mm] = [mm] (a_{1}+a_{2}+...+a_{k-1}+a_{k})^{n}
[/mm]
[mm] (a_{1}+a_{2}+...+a_{k-2}) [/mm] hab ich dann mein p genannt, und [mm] a_{k-1} [/mm] mein q, bzw [mm] (a_{k-1}+a_{k}) [/mm] mein [mm] q_{2}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} [/mm] ( [mm] (p^{n}+\vektor{n\\1}p^{n-1}q+...+\vektor{n\\n-1}pq^{n-1}+\vektor{n\\n}q^{n} [/mm] = [mm] (p^{n}+\vektor{n\\1}p^{n-1}q_{2}+...+\vektor{n\\n-1}pq_{2}^{n-1}+\vektor{n\\n}q_{2}^{n})
[/mm]
aber auch so bin ich nicht weiter gekommen.
Vielen Dank nochmal! Und lg :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:01 Di 08.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> So.. mein Versuch zur Induktion:
>
> Induktionsanfang: k = 2:
Du kannst auch mit $k = 1$ oder $k = 0$ anfangen. Dann ist der Induktionsanfang etwas einfacher.
> für die linke Seite:
> [mm](\summe_{i=1}^{2}a_{i})^{n}[/mm] = [mm](a_{1}+a_{2})^{n}[/mm]
> = (nach dem binomischen Satz)
> [mm]a_{1}^{n}+\vektor{n\\1}a_{1}^{n-1} a_{2}+...+\vektor{n\\n-1}a_{1} a_{2}^{n-1}+\vektor{n\\n}a_{2}^{n}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{l=0}^{n}(\vektor{n\\l}a_{1}^{n-l} a_{2}^{l}) =\summe_{l=0}^{n}(\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!} a_{1}^{n-l} a_{2}^{l}).[/mm]
Bei dir ist also [mm] $i_1 [/mm] + [mm] i_2 [/mm] = n$? Das musst du aber auch dabeisagen, bevor du es einfach so verwendest.
> für die rechte Seite:
> [mm]\summe_{i_{1},i_{2}\in\IN; i_{1}+i_{2}=n}(\vektor{i_{1}+i_{2}\\i_{1},i_{2}}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}})[/mm]
> = (nach Definition)
>
> [mm]\summe_{i_{1},i_{2}\in\IN; i_{1}+i_{2}=n}(\bruch{(i_{1}+i_{2})}{i_{1}!i_{2}!}a_{1}^{i_{1}}a_{2}^{i_{2}})[/mm]
>
> jetzt setze ich [mm]i_{2}[/mm] = l. Also [mm]i_{1}[/mm] = n - l. Bei dem
> nächsten Summenzeichen bin ich mir nicht sicher, ob die
> Indizes so stimmen... :
>
> =
> [mm]\summe_{l=0}^{n}(\bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}).[/mm]
Na, wenn du [mm] $i_2$ [/mm] ersetzt, musst du auch [mm] $i_1$ [/mm] ersetzen!
>
> Beide Seiten zusammen:
>
> [mm]\summe_{l=0}^{n}\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}[/mm]
> - [mm]\bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!}a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}[/mm] = 0
Da fehlt eine grosse Klammer hinter dem Summenzeichen.
>
> [mm]\gdw \summe_{l=0}^{n}(a_{1}^{n-l}a_{2}^{l}(\bruch{(i_{1}+i_{2})!)}{l!(i_{1}+i_{2}-l)!}[/mm]
> - [mm]\bruch{(i_{1}+l)}{i_{1}!l!})[/mm] = 0.
>
> wenn ich jetzt wieder l = [mm]i_{2}[/mm] setzten darf, käme
> wirklich 0 raus.
> Ich weiß nur nicht, ob ich bei dieser Rechnung nicht
> gegen zich Regeln verstoßen habe...
Es ist eher nicht so toll aufgeschrieben. Ich schreib's dir mal in schoener auf:
[mm] $(a_1 [/mm] + [mm] a_2)^n \overset{\text{Binom.} \atop \text{Lehrsatz}}{=} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a_1^{n-k} a_2^k [/mm] = [mm] \sum_{i_2 = 0}^n \frac{n!}{i_2! (n - i_2)!} a_1^{n - i_2} a_2^{i_2} \overset{n - i_2 = i_1}{=} \sum_{i_2=0 \atop i_1 = n - i_2}^n \frac{n!}{i_1! i_2!} a_1^{i_1} a_2^{i_2} [/mm] = [mm] \sum_{i_1 + i_2 = n} \binom{n}{i_1, i_2} a_1^{i_1} a_2^{i_2}$
[/mm]
> Jetzt habe ich den Induktionsschritt versucht, bin aber
> stecken geblieben:
> zunächst k [mm]\to[/mm] k-1:
>
> [mm](\summe_{i=1}^{k-1}a_{i})^{n}[/mm] =
> [mm]\summe_{i_{1},i_{2},...,i_{k-1} \in \IN; i_{1}+...+i_{k-1} = n} \vektor{n\\i_{1},i_{2},...,i_{k-1}}a_{1}^{i_{1}}...a_{k-1}^{i_{k-1}}.[/mm]
>
> Für die Summe bis k gilt nach Deiner Umformung:
>
> [mm]\sum_{t=0}^n \sum_{(i_1, \dots, i_{k-1}) \in I_{k-1,n-t}} \vektor{n \\ i_1, i_2, \dots, i_{k-1}, t} a_1^{i_1} \cdots a_{k-1}^{i_{k-1}} a_k^t$[/mm]
> = [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}[/mm]
Das willst du zeigen! Das gilt noch nicht.
> [mm]\gdw \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} \summe(\bruch{n!}{i_{1}!i_{2}!...i_{k-1}!}a_{1}^{i_{1}}...a_{k-1}^{i_{k-1}})[/mm]
> = [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\gdw \summe_{t=0}^{n} \bruch{a_{k}^{t}}{t!} (\summe_{i=1}^{k-1}a_{i})^{n}[/mm]
> = [mm](\summe_{i=1}^{k}a_{i})^{n}[/mm]
Das ist nicht dazu aequivalent! Du hast [mm] $\frac{n}{t_1, \dots, t_{k-1}}$ [/mm] durch [mm] $\binom{n}{t_1, \dots, t_{k-1}}$ [/mm] ersetzt, was gar nicht geht, da [mm] $t_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] t_{k-1}$ [/mm] nicht $n$, sondern $n - t$ ist!
Versuche da mal lieber ein [mm] $\binom{n - t}{t_1, \dots, t_{k-1}}$ [/mm] stehen zu haben; du musst dir auch noch ueberlegen wie du aus $n!$ ein $(n - t)!$ machst. Tipp: $n! = [mm] \frac{n!}{(n - t)!} \cdot [/mm] (n - t)!$.
Beachte auch, dass [mm] $\frac{1}{t!} \cdot \frac{n!}{(n - t)!} [/mm] = [mm] \binom{n}{t}$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:55 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Loko |
Vielen Dank für die Hilfe! :) Ich hab es dann doch noch geschafft!
Soll ich die Lösung auch nochmal hier zeigen?
Lg und nochmal Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:59 Mi 09.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Loko!
> Vielen Dank für die Hilfe! :)
Bitte! :)
>Ich hab es dann doch noch geschafft!
Super!
> Soll ich die Lösung auch nochmal hier zeigen?
Das musst du wissen. Wenn wir nochmal drueber gucken sollen, warum nicht. Ansonsten sehe ich keinen Grund, warum du sie nochmal extra abtippen musst :)
LG Felix
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