Summenzeichen Summe umformen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:50 Sa 01.02.2014 | | Autor: | haner |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j) [/mm] = 0+2t* [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^(j-1)}{(j-1)!} [/mm] = 2t* [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2t)^k}{k!} [/mm] = 2te^(2t) |
Hallo,
mir ist irgendwie nicht klar, wie ich von der gegebenen Summe auf den zweiten Schritt komme. Dass die Summe jetzt bei 1 beginnen muss liegt wahrscheinlich daran, dass die Fakultät von -1 nicht definiert ist.
Das 0+ kommt dann auch aus diesem Grund zustande.
Könnt Ihr mir bitte erklären, wie es zu dem (j-1) und zu dem 2t vor dem Summenzeichen kommt.
Vielen Dank
MfG haner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Sa 01.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j)[/mm] = 0+2t*
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^(j-1)}{(j-1)!}[/mm] = 2t*
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(2t)^k}{k!}[/mm] = 2te^(2t)
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> Hallo,
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> mir ist irgendwie nicht klar, wie ich von der gegebenen
> Summe auf den zweiten Schritt komme. Dass die Summe jetzt
> bei 1 beginnen muss liegt wahrscheinlich daran, dass die
> Fakultät von -1 nicht definiert ist.
> Das 0+ kommt dann auch aus diesem Grund zustande.
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> Könnt Ihr mir bitte erklären, wie es zu dem (j-1) und zu
> dem 2t vor dem Summenzeichen kommt.
>
> Vielen Dank
> MfG haner
Hallo,
Mach dir zunächst klar, dass folgendes gilt:
[mm] \summe_{i=0}^{n}a_i=a_0+a_1+\ldots+a_n
[/mm]
Jetzt zu deinem Problem.
[mm] \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j)=\frac{t^0}{0!}(0*2^0)+\frac{t^1}{1!}(1*2^1)+\ldots=(1*0)+2t+\ldots
[/mm]
Der erste Summand fällt also komplett weg, deshalb gilt:
[mm] \summe_{j=0}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j)=(1*0)+2t+\ldots=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j)
[/mm]
Weiterhin gilt folgendes:
[mm] t^j*j*2^j=(2t)^j*j [/mm] bzw. [mm] j!=1*2*\ldots*(j-1)*j
[/mm]
Damit gilt:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{t^j}{j!}*(j*2^j)=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j}*j}{1*2*\ldots*(j-1)*j}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j}}{(j-1)!}
[/mm]
Nun gilt folgendes:
[mm] (2t)^j=(2t)^{j-1}*(2t)
[/mm]
Damit folgt:
[mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j}}{(j-1)!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j-1}*(2t)}{(j-1)!}
[/mm]
Das $2t$ hängt nicht von der Reihe ab, sodass wir es wie folgt rausziehen können:
[mm] 2t*\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j-1}}{(j-1)!}
[/mm]
Nun kommt eine Indexverschiebung, damit wir die Exponentialreihe
[mm] e^x=\summe_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
[/mm]
verwenden können!
Es ist damit
[mm] 2t*\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{(2t)^{j-1}}{(j-1)!}=2t*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{(2t)^{j}}{j!}=2t*e^{2t}
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Sa 01.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das kann man in der Tat sehr kürzen:
Der erste Summand ist 0, ok.
Für die anderen kann man wie folgt umformen : j kürzen ergibt (j-1)! im Nenner, [mm] t^j*2^j=(2t)^j=2t*(2t)^{j-1} [/mm] ; 2t vor die Summe ziehen ... et voilà
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Sa 01.02.2014 | | Autor: | haner |
Hallo,
das war mir wirklich eine super Hilfe.
Besser hätte mir das glaube ich keiner erklären können.
Vielen Dank
MfG haner
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