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Supremum: Aufgabe 2 von Ana2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:25 So 01.06.2008
Autor: Ninjoo

Aufgabe
Sei (X,d) vollständiger, nicht-leerer, beschränkter metrischer Raum und
f: X-> X eine kontrahiierende Abbildung. Betrachte die rekursiv definierte Mengenfolge

X(0)=X , X(k+1) = f(X(k)) , [mm] k\in \IN [/mm]

Zeige, dass der Durchschnitt dieser Mengenfolge aus genau einem Punkt besteht und gib dabei eine Abschätzung für den Durchmesser von X(k) an.

Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.

Hallo :)

Vorab eine Erklärungen,

das X beschränkt ist, heißt diam(X)= sup{ d(x,y) | [mm] x,y\in [/mm] X} < unendlich.

Ich konnte zeigen, das [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt:

[mm] diam(f^{n+1}(X)) [/mm] < diam [mm] (f^n(X)) [/mm]

also, dass  diam(X(n+1)) < diam(X(n))

da d eine Metrik ist, gilt ja d( . , . ) >= 0.

Folgt also daraus schon

[mm] \bigcap_{n \in \IN}^{} [/mm] X(n) =: A, dass diam(A) = 0 ?

Wenn ja, wie kann man das begründen? Intuitiv würde ich sofort sagen diam(A) = 0.. Denn dann ist klar, das wegen dem Banach... Fixpunktsatz der Durchschnitt nur ein Element enthält.

Und was meinen die mit einer Abschätzung?
reicht als abschätzung z.B. diam(X(k)) < diam(X(k-1)) ?

gruss Ninjoo

        
Bezug
Supremum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 So 01.06.2008
Autor: Somebody


> Sei (X,d) vollständiger, nicht-leerer, beschränkter
> metrischer Raum und
> f: X-> X eine kontrahiierende Abbildung. Betrachte die
> rekursiv definierte Mengenfolge
>  
> X(0)=X , X(k+1) = f(X(k)) , [mm]k\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Zeige, dass der Durchschnitt dieser Mengenfolge aus genau
> einem Punkt besteht und gib dabei eine Abschätzung für den
> Durchmesser von X(k) an.
>  Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
>  
> Hallo :)
>  
> Vorab eine Erklärungen,
>  
> das X beschränkt ist, heißt diam(X)= sup$\{$ d(x,y) | [mm]x,y\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

X $\}$ < unendlich.

>  
> Ich konnte zeigen, das [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>  
> [mm]diam(f^{n+1}(X))[/mm] < diam [mm](f^n(X))[/mm]
>  
> also, dass  diam(X(n+1)) < diam(X(n))

Vermutlich hast Du dabei auch gezeigt, dass [mm] $X(n+1)\subseteq [/mm] X(n)$ gilt, für alle [mm] $n\in \IN$. [/mm]

>  
> da d eine Metrik ist, gilt ja d( . , . ) >= 0.
>  
> Folgt also daraus schon
>  
> [mm]\bigcap_{n \in \IN}^{}[/mm] X(n) =: A, dass diam(A) = 0 ?
>  
> Wenn ja, wie kann man das begründen? Intuitiv würde ich
> sofort sagen diam(A) = 0.

Siehe Abschätzung unten: [mm] $\mathrm{diam}(X(n))\leq q^n\cdot\mathrm{diam}(X)\rightarrow [/mm] 0$, für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm]

> Denn dann ist klar, das wegen
> dem Banach... Fixpunktsatz der Durchschnitt nur ein Element
> enthält.

Wir sind uns einig, dass die Durchmesser dieser inklusionsmonoton fallenden Mengenfolge gegen $0$ konvergieren, aber warum ist der Durchschnitt [mm] $\bigcap_{n\in \IN} [/mm] X(n)$ nicht leer? - Dies müsste man wohl auch noch begründen.

> Und was meinen die mit einer Abschätzung?
>  reicht als abschätzung z.B. diam(X(k)) < diam(X(k-1)) ?

Wenn die Abbildung kontrahierend ist, dann gibt es ein $q$ mit $q<1$, so dass [mm] $\mathrm{diam}(X(k+1))\leq q\cdot \mathrm{diam}(X(k))$. [/mm] Durch wiederholte Anwendung dieser Beziehung erhält man jedenfalls [mm] $\mathrm{diam}(X(k))\leq q^k\cdot\mathrm{diam}(X)$. [/mm]


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