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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Sa 09.03.2013 | | Autor: | Rated-R |
| Aufgabe | Geben Sie das Supremum folgender Mengen an:
a) {x [mm] \in ]-\pi,\pi]| \vmat{ x-\wurzel(2)}\in \IQ \}
[/mm]
b) [mm] \{inf\{(-1)^n/n | n\ge k\}| k \in \IN_+\} [/mm] |
Hallo,
stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und habe ein paar fragen zu der Aufgabe.
a) Die Menge hat ihr Maximum bei [mm] \pi-\wurzel(2) [/mm] allerdings ist die Zahl irrational, ich müsste deshalb [mm] \pi-\wurzel(2) \le [/mm] n/m - [mm] \varepsilon_0 [/mm] mit [mm] \varepsilon_0>0 [/mm] konstruieren, da [mm] \IQ [/mm] aber nicht vollständig ist würde ich sagen das es kein supremum in [mm] \IQ [/mm] gibt?
b) Muss man hier unterscheiden ob k gerade/ungerade ist das infimium würde [mm] (-1)^k/k [/mm] liegen falls k ungerade und bei (-1)^(k+1)/(k+1) falls k gerade oder täusch ich mich?
Danke für eure Hilfe!
gruß Tom
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Sa 09.03.2013 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Geben Sie das Supremum folgender Mengen an:
>
> a) {x [mm]\in ]-\pi,\pi]| \vmat{ x-\wurzel(2)}\in \IQ \}[/mm]
>
> b) [mm]\{inf\{(-1)^n/n | n\ge k\}| k \in \IN_+\}[/mm]
> Hallo,
>
> stecke gerade in der Prüfungsvorbereitung und habe ein
> paar fragen zu der Aufgabe.
>
> a) Die Menge hat ihr Maximum bei [mm]\pi-\wurzel(2)[/mm] allerdings
Nein, bei [mm]-\pi[/mm].
> ist die Zahl irrational, ich müsste deshalb [mm]\pi-\wurzel(2) \le[/mm]
> n/m - [mm]\varepsilon_0[/mm] mit [mm]\varepsilon_0>0[/mm] konstruieren, da
> [mm]\IQ[/mm] aber nicht vollständig ist würde ich sagen das es
> kein supremum in [mm]\IQ[/mm] gibt?
Das sehe ich auch so.
>
> b) Muss man hier unterscheiden ob k gerade/ungerade ist das
> infimium würde [mm](-1)^k/k[/mm] liegen falls k ungerade
...also bei 1/k
> und bei
> (-1)^(k+1)/(k+1)
...also bei -1/(k+1)
> falls k gerade oder täusch ich mich?
Du täuschst dich nicht.
>
>
> Danke für eure Hilfe!
> gruß Tom
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Sa 09.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Bei a) muß ich widersprechen !
Betrachten wir [mm] f(x):=|x-\wurzel{2}|,
[/mm]
[mm] M_1:=\{x \in ( - \pi, \pi]: f(x) \in \IR \}
[/mm]
und
[mm] M_2:=\{x \in ( - \pi, \pi]: f(x) \in \IQ \}
[/mm]
Gesucht ist das Supremum von [mm] M_2 [/mm] und zwar in [mm] \IR [/mm] !!!
[mm] M_2 [/mm] in Worten: x [mm] \in M_2 \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] ( - [mm] \pi, \pi] [/mm] und f(x) [mm] \in \IQ
[/mm]
Grundmenge für [mm] M_2 [/mm] ist also [mm] \IR.
[/mm]
Es ist [mm] $M_1= [/mm] f((- [mm] \pi, \pi])= [/mm] [0, [mm] \pi [/mm] + [mm] \wurzel{2})$
[/mm]
Damit ist [mm] $sup(M_1)=\pi [/mm] + [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Wegen [mm] $M_2=M_1 \cap \IQ$ [/mm] ist
[mm] $sup(M_2)=\pi [/mm] + [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
FRED
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