Supremum, Infimum < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Mi 20.05.2009 | | Autor: | martinii |
| Aufgabe | a ist eine positive reelle Zahl
Zeigen Sie:
sup [mm] \{ {x \in Q:x^{2}
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hey,
ich habe irgendwie Probleme mit der Aufgabe.
Ich weiß was mit sup. und inf. gemeint ist. Verstehe es auch eigentlich, aber ich weiß nicht wie ich die Aufgabe hier lösen soll bzw. beweißen soll.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Ansatz sagen.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Lg
martinii
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Do 21.05.2009 | | Autor: | Blech |
> Ich weiß was mit sup. und inf. gemeint ist. Verstehe es
> auch eigentlich, aber ich weiß nicht wie ich die Aufgabe
> hier lösen soll bzw. beweißen soll.
Strikt nach Definition.
x ist das Supremum einer Menge, wenn es kleinste obere Schranke ist.
Im Fall oben zeigst Du also
1. [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] ist obere Schranke von [mm] \{ x \in \IQ:x^2
2. Jedes [mm] $y<\sqrt{a}$ [/mm] ist nicht obere Schranke von [mm] \{ x \in \IQ:x^2
Infimum analog bloß umgekehrt. =)
Es geht darum, die Schritte alle formal hinzuschreiben. Die meisten sind für sich genommen so trivial, daß man sich ziemlich dämlich vorkommt =P
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Do 21.05.2009 | | Autor: | martinii |
Hallo,
schon mal vielen Dank für deine Antwort.
Allerdings komme ich dadurch nicht weiter 
Wenn [mm] \wurzel{a} [/mm] die obere Schranke ist, dann muss ich doch jetzt ein x finden s.d x < [mm] \wurzel{a} [/mm] oder?
Wenn ja, wie komme ich dann auch dieses x.
Vll denk ich einfach zu kompliziert oder ich verstehe es doch nicht :-D
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also erstmal vorweg:
Wenn Du sup $ [mm] \{ x \in \IQ:x^{2}
sup $ [mm] \{ {x \in \IQ:x^{2}
Überlege Dir sowas wie:
[mm] $\text{sup} M=-\inf -M\,,$ [/mm] wobei [mm] $-M:=\{-m:\;m \in M\}$ [/mm] und dass oben [mm] $M=\{x \in \IQ:x^{2}
Nun zu [mm] $\text{sup} \{ x \in \IQ:x^{2}
Blech hatte Dir ja gesagt, was Du tun sollst:
1.) Zeige: [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] ist obere Schranke von [mm] $\{ y \in \IQ:y^{2}
Ist $x [mm] \in \{y \in \IQ:y^{2}
2.) Um zu zeigen, dass [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] die kleinste obere Schranke ist:
Das ist - je nach Kenntnisstand - etwas schwieriger. Es fängt aber prinzipiell gleich oder ähnlich an, ich mache es etwas anders wie Blech. Hier mit einem Widerspruchsbeweis:
Angenommen, das Supremum von [mm] $\{ x \in \IQ:x^{2} [/mm] (Bemerkung: Weil [mm] $\{ x \in \IQ:x^{2}
Dann ist also [mm] $\text{sup} \{ x \in \IQ:x^{2}
Aber hier die Standard-Idee:
Dann ist also [mm] $S:=\text{sup} \{ x \in \IQ:x^{2}
Feststellung:
[mm] $\bullet$ [/mm] Da ja insbesondere [mm] $S\,$ [/mm] als Supremum obere Schranke für [mm] $\{ x \in \IQ:x^{2}
Nun überlege Dir (und hier kann man z.B. auch einfach die Dichtheit von [mm] $\IQ$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] benützen):
Es gibt eine Zahl $q [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $S < q < [mm] \sqrt{a}\,.$ [/mm] Zeige nun:
Es gilt $q [mm] \in \{ x \in \IQ:x^{2}
Es gilt [mm] $q^2 [/mm] < [mm] a\,.$
[/mm]
Wieso steht das im Widerspruch zur Feststellung?
Was bedeutet das für die obige Annahme?
Gruß,
Marcel
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