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| Aufgabe | Es sei [mm] \mu \subseteq \mathcal{P}(\IR) [/mm] ein Menge von nichtleeren nach oben beschränkten Mengen und M:= [mm] \bigcup_{A\in\mu}A. [/mm] Zeigen Sie, dass M genau dann nach oben beschränkt ist, wenn die Menge {supA : [mm] A\in\mu [/mm] } nach oben beschränkt ist, und dass in diesen Fall gilt:
sup M = sup { [mm] supA:A\in\mu [/mm] }.
Formulieren und beweisen Sie eine entsprechende Aussage für das Infimum.
(Hierbei ist [mm] \mathcal{P}(\IR)= [/mm] {B : [mm] B\subseteq\IR [/mm] } und [mm] \bigcup_{A\in\mu}A [/mm] = {x : [mm] \exists A\in\mu [/mm] : x [mm] \in [/mm] A }.) |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter, da ich kaum den Aufgabentext verstehe.
Bisher "mir erklärt" habe ich dass ein [mm] \mu [/mm] gibt, welches aus mehreren Mengen besteht und keine leere beinhaltet. Alle haben eine supM außer das angegebene M und dies ist nur beschränkt wenn {supA : [mm] A\in\mu [/mm] } eine OS hat.
Es wäre toll wenn mir jemand die Aufgabe erklären könnte, bzw. mir einen Tipp gibt was genau ich da wie beweisen soll.
Danke für die Hilfe!
MFG
pinkdiamond
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Hallo,
> Es sei [mm]\mu \subseteq \mathcal{P}(\IR)[/mm] ein Menge von
> nichtleeren nach oben beschränkten Mengen und M:=
> [mm]\bigcup_{A\in\mu}A.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zeigen Sie, dass M genau dann nach oben
> beschränkt ist, wenn die Menge {supA : [mm]A\in\mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} nach oben
> beschränkt ist, und dass in diesen Fall gilt:
> sup M = sup { [mm]supA:A\in\mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Formulieren und beweisen Sie eine entsprechende Aussage
> für das Infimum.
> (Hierbei ist [mm]\mathcal{P}(\IR)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{B : [mm]B\subseteq\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und
> [mm]\bigcup_{A\in\mu}A[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x : [mm]\exists A\in\mu[/mm] : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A }.)
> Hallo,
> bei dieser Aufgabe komme ich überhaupt nicht weiter, da
> ich kaum den Aufgabentext verstehe.
> Bisher "mir erklärt" habe ich dass ein [mm]\mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
gibt, welches
> aus mehreren Mengen besteht und keine leere beinhaltet.
> Alle haben eine supM außer das angegebene M und dies ist
> nur beschränkt wenn {supA : [mm]A\in\mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine OS hat.
> Es wäre toll wenn mir jemand die Aufgabe erklären
> könnte, bzw. mir einen Tipp gibt was genau ich da wie
> beweisen soll.
> Danke für die Hilfe!
> MFG
> pinkdiamond
also $\mu$ ist eine menge von teilmengen von $R$, genau. In $M$ vereinigst du aber wieder diese teilmengen, so dass eine einfache teilmenge von $R$ entsteht. Nun gilt es, die genannte aequivalenz-beziehung sowie die gleichheit der suprema zu zeigen.
ein paar tips: meist zeigt man aequivalenzen ("genau dann, wenn"), indem man getrennt beide richtungen zeigt. Versuche das einmal.
die supremums-eigenschaft einer gewissen zahl zeigt man wohl am besten, indem man erst zeigt, dass sie eine obere schranke bildet und dann, dass sie auch tatsaechlich die kleinste solche schranke ist. Dies koennte zb. ueber einen widerspruchs-beweis funktionieren ("angenommen, es gaebe eine kleinere obere schranke").
gruss
Matthias
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Zuerst mal danke für die Hinweise!!
Hieße das dann, dass ich quasi einmal
(1) supM [mm] \ge [/mm] sup{sup A: A [mm] \in \mu [/mm] } beweise
und dann noch umgekehrt:
(2) sup{sup A: A [mm] \in \mu [/mm] } [mm] \ge [/mm] supM.
Jetzt würde ich normlerweise ein Element der Menge für (1) nehmen und unter Verwendung, dass das Supremum eine OS und von allen OS die kleinste ist, überprüfen.
Nur ich weiß nicht wie dies hier funktionieren soll..
wie soll ich denn nur aus dem supA ein Element nehmen?
Danke für die Hilfe!
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zuerst mal danke für die Hinweise!!
>
> Hieße das dann, dass ich quasi einmal
> (1) supM [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup{sup A: A [mm]\in \mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} beweise
> und dann noch umgekehrt:
> (2) sup{sup A: A [mm]\in \mu[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\ge[/mm] supM.
Das kannst du. Es geht aber auch etwas einfacher.
Einmal musst du ja zeigen, dass $T := [mm] \sup\{ \sup A \mid A \in \mu \}$ [/mm] eine obere Schranke fuer $M$ ist: das ist ganz einfach; nimm dir ein Element $x [mm] \in [/mm] M$ und zeige, dass $x [mm] \le [/mm] T$ ist. (Benutze: es gibt ein $A [mm] \in \mu$ [/mm] mit $x [mm] \in [/mm] A$.)
Dann musst du zeigen, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein Element $x [mm] \in [/mm] M$ gibt mit $T - x < [mm] \varepsilon$. [/mm] Dazu nimmst du dir erstmal ein $A [mm] \in \mu$ [/mm] mit $T - [mm] \sup [/mm] A < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] (warum geht das?) und dann ein passendes Element aus $A$.
LG Felix
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Danke für die Anleitung.
Ohne diese hätte ich den Beweis sicher nicht hinbekommen!
Doch ich hab leider immer noch ein Problem mit dem 2. Teil. Könnte das zwar analog für das Infimum fast genauso beweisen, weiß aber nicht wie ich die Aussage fürs Infimum formulieren soll.
Danke und liebe Grüße
pinkdiamond
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 28.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke für die Anleitung.
> Ohne diese hätte ich den Beweis sicher nicht
> hinbekommen!
Bitte.
> Doch ich hab leider immer noch ein Problem mit dem 2. Teil.
> Könnte das zwar analog für das Infimum fast genauso
> beweisen, weiß aber nicht wie ich die Aussage fürs
> Infimum formulieren soll.
Ja, der Beweis geht analog. Die Formulierung aber auch. Du musst halt Supremum durch Infimum ersetzen, und obere Schranken durch untere Schranken. Wo genau liegt dein Problem?
LG Felix
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oh bin ich blöd..
das kommt davon wenn man ewig vor ner aufgabe sitzt..
hab iwie grad fälschlicherweise gedacht dass wenn ich die Aussage neu formuliere, dann ändern sich die Vorzeichen.
Quatsch %-)
Danke,
Lg
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