Supremum, Infimum, Maximum, .. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende Menge ist gegeben:
T = {1/m + 2/n: m, n N}
Wir sollen supT, maxT, infT und minT angeben, falls existent.
Für dieses Beispiel habe ich mir gedacht:
- maxT = 1/1 + 2/1 = 3 (logisch)
- supT (kleinste obere Schranke) = lim(1/m + 2/n) für n -> oo, m -> 1 = 1 + 0 = 1
- min T existiert nicht, da T anscheinend = (0, 3] wegen N = [1, oo)
Denn lim(1/m + 2/n) für m, n -> oo nicht T
- aber infT = lim(1/m + 2/n) für n -> 1, m -> oo = 0 + 2 = 2
Wie ihr seht ist infT > supT. Ist das in Ordnung. Entspricht doch eigentlich der Definition!
Danke für eure Hilfe,
Andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:02 So 14.11.2004 | | Autor: | baddi |
T = {1/m + 2/n: m, n N}
- maxT = 1/1 + 2/1 = 3 (logisch)
Leuchtet mir auch ein :)
- supT (kleinste obere Schranke) = lim(1/m + 2/n) für n -> oo, m -> 1 = 1 + 0 = 1
Häää? Äh, wenn es ein maxT hast hast du automatisch auch ein supT.
Denn aus maxT folgt immer supT = maxT
Also supT = maxT = 3
- min T existiert nicht, da T anscheinend = (0, 3] wegen N = [1, oo)
Denn lim(1/m + 2/n) für m, n -> oo nicht T
Ja, genau, das ist richtig. Du kannst ja noch argumentieren, das 1/m gegen Null geht, aber das du für jedes 1/m noch ein kleineres 1/m finden kannst.
Kapiert ? Gleiches gilt für 2/n. Klar ?
Damit ist dann klar das es kein Minmum gibt und das Inf=0 ist.
- aber infT = lim(1/m + 2/n) für n -> 1, m -> oo = 0 + 2 = 2
Ähhh... das verstehe ich jetzt nicht.
Ich dachte 1/oo liest sich als quasi 0 (beim abschätzen)
Ebenso 2/oo als quasi 0 (beim abschätzen).
Achso n -> 1. Ok dann ist das natürlich was anderes.
Bist du sicher das n nicht gegen oo gehen soll ?
Gruß baddi
|
|
|
| |
|
Jemand hat die ANtwort auf meine Frage als falsch markiert. Es wäre nicht schlecht, wenn derjenige auch sagt, an der ANtwort falsch sein könnte. Welchen Sinn macht es, die ANtwort als falsch zu markieren und nicht zu sagen, warum?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 14.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Jemand hat die ANtwort auf meine Frage als falsch markiert.
> Es wäre nicht schlecht, wenn derjenige auch sagt, an der
> ANtwort falsch sein könnte. Welchen Sinn macht es, die
> ANtwort als falsch zu markieren und nicht zu sagen,
> warum?
Baddi hat seine eigene Antwort bereits beim Abschicken als fehlerhaft markiert.
Nur er kann uns sagen, warum.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 14.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo sturerPauker!
Ich habe die Antwort zwar nicht als falsch makiert, aber ich versuche mal trotzdem zu Antworten:
Im Prinzip hast du hier 4 Fälle:
Einmal $m [mm] \to \infty [/mm] | n [mm] \to \infty$, [/mm] dann $m [mm] \to \infty [/mm] | n [mm] \to [/mm] 1$,
$m [mm] \to [/mm] 1 | n [mm] \to \infty$ [/mm] und schließlich $m [mm] \to [/mm] 1 | n [mm] \to [/mm] 1$.
Das probierst du durch und schaust, wo das Ergebnis in der Menge T liegt.
Also supT muss die größtmögliche Kombination von m und n sein. das ist dann der Fall wenn m= n = 1 ist, weil sonst die einzelnen Summanden kleiner werden.
Also$ sup(T) = [mm] \frac{1}{1} [/mm] + [mm] \frac{2}{1} [/mm] = 3$
Weil wir das mit m und n geschafft haben, ohne einen Grenzwert betrachten zu müssen ist das auch unser Minimum, weil [mm]t_1,1 = 3 \in T[/mm]
Daher ist $max(T)=3=sup (T)$.
Jetzt wissen wir, wie T nach oben hin aussieht. Sehen wir uns nun das untere Ende von T an:
Je größer m und n werden, desto kleiner wir die Summe. Also wird der Ausdruck für $m [mm] \to \infty [/mm] | n [mm] \to \infty$ [/mm] am kleinsten. Hier liegt das Infimum und
$inf(T) = [mm] \lim_{m \to \infty}\lim_{n \to \infty} \frac{1}{m} [/mm] + [mm] \frac{2}{n} [/mm] = 0$
Nun ist 0 aber nich in der Menge T enthalten, weil wir hier einen Grenzwert betrachtet haben und ich kein m und n angeben kann, sodass die Summe = 0 wird. Also existiert das Minimum von T nicht.
Zusammenfassung:
$sup(T) = 3$
$max(T) = 3$
$inf(T) = 0$
$min(T)$ ex. nicht.
Ich glaube das wollte der erste Antwortende auch schreiben.
Gruß Micha 
|
|
|
|
