Supremum, Infimum Menge < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Supremum und Infimum von [mm] \bigcup_{k \in \IN} (\bigcap_{n \in \IN}[2^{-k}+(1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}, 2^{-k}+1-\bruch{1}{2n-1}]). [/mm] Bekannt ist, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n} [/mm] = 1. |
Guten Morgen,
bei dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme. Wie gehe ich hier vor? Ich habe bereits Schwierigkeiten mir diese Menge überhaupt vorzustellen. Hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie das Supremum und Infimum von [mm]\bigcup_{k \in \IN} (\bigcap_{n \in \IN}[2^{-k}+(1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}, 2^{-k}+1-\bruch{1}{2n-1}]).[/mm]
Was ist denn [mm] \alpha [/mm] ????
> Bekannt ist, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}[/mm]
> = 1.
Mir ist das nicht bekannt ! Für [mm] \alpha=1 [/mm] ist z.B.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}[/mm]
= 1/e.
Wie lautet die Aufgabe vollständig und korrekt ?
FRED
>
> Guten Morgen,
>
> bei dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme. Wie gehe ich
> hier vor? Ich habe bereits Schwierigkeiten mir diese Menge
> überhaupt vorzustellen. Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
> LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Di 15.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred,
es soll wohl [mm] \alpha>1 [/mm] sein.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Di 15.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
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> es soll wohl [mm]\alpha>1[/mm] sein.
Vielleicht, vielleicht aber auch nicht ?
FRED
>
> Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:10 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Entschuldigung. [mm] \alpha \in \IN: \alpha [/mm] > 1.
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Hallo,
> Also [mm] \alpha [/mm] > 1, [mm] \alpha\in\IN
[/mm]
> Bestimmen Sie das Supremum und Infimum von [mm]\bigcup_{k \in \IN} (\bigcap_{n \in \IN}[2^{-k}+(1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}, 2^{-k}+1-\bruch{1}{2n-1}]).[/mm]
> Bekannt ist, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}[/mm]
> = 1.
> bei dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme. Wie gehe ich
> hier vor? Ich habe bereits Schwierigkeiten mir diese Menge
> überhaupt vorzustellen. Hoffe ihr könnt mir helfen.
Versuche dir erstmal nicht vorzustellen, was die Menge ist, sondern sie zu vereinfachen.
Betrachte als erstes nur den Schnitt:
[mm] $\bigcap_{n\in\IN}\left[2^{-k} + \left(1-\frac{1}{n^{\alpha}}\right)^{n}, 2^{-k} + 1-\frac{1}{2n-1}\right]$
[/mm]
Da das k so schön separiert vom n ist, dürfte das keine Probleme machen. Geschnitten werden hier abgeschlossene Intervalle. Du musst dir nun Gedanken darüber machen, was mit diesen Intervallen für wachsendes n passiert (ignoriere dabei zunächst k!).
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Anderes Beispiel:
[mm] $\bigcap_{n\in\IN}\left[1-\frac{1}{n},3-\frac{1}{n}\right]$
[/mm]
Wir wissen: [mm] $1-\frac{1}{n}$ [/mm] wächst monoton und konvergiert gegen 1. Das bedeutet: das größte linke Intervallende bekommen wir für [mm] $n\to\infty$, [/mm] das ist dann 1. Das resultierende linke Intervallende ist "abgeschlossen".
[mm] $3-\frac{1}{n}$ [/mm] ist monoton wachsend und konvergiert gegen 2. Das kleinste rechte Intervallende ist somit das für n = 1, also 2.
Es ist also:
[mm] $\bigcap_{n\in\IN}\left[1-\frac{1}{n},3-\frac{1}{n}\right] [/mm] = [1,2]$
(Wir suchen die "größten linken Intervallenden" und die "kleinsten rechten Intervallenden", weil ja der Schnitt aus allen Intervallen gebildet werden soll. Wir suchen also im Idealfall ein Intervall (eigtl. eine Menge, aber wenn man weiß dass die Ränder gewisse Monotonieeigenschaften erfüllen, wird es wieder ein Intervall), dass nur Werte aus allen Intervallen enthält).
Damit kannst du versuchen, deine Aufgabe zu lösen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank für diese ausführliche Erklärung und das Beispiel. Werde mich dann Mal an die Aufgabe machen. Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ich hab noch Mal über das was du geschrieben hast nachgedacht.... Müsste man bei dem Schnitt nicht sohol das kleinst möglichste linke als auch das kleinst mögliche rechte Intervallende betrachten? Also in deinem Beispiel [0,1] ?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Hm ich hab noch Mal über das was du geschrieben hast
> nachgedacht.... Müsste man bei dem Schnitt nicht sohol das
> kleinst möglichste linke als auch das kleinst mögliche
> rechte Intervallende betrachten? Also in deinem Beispiel
> [0,1] ?
Überlege, dass du den Schnitt von geschlossenen Intervallen betrachtest. Der Schnitt von solchen Intervallen ist wieder ein geschlossenes Intervall, dessen linke Grenze das Supremum aller linken Grenzen der geschnittenen Intervalle ist.
Zu steppenhahns Beispiel:
schon alleine für n=2 ist das Interval [1-1/2,3-1/2]=[1/2,5/2] und 0 ist nicht mehr darin enthalten.
Die rechte Grenze des Schnittintervalls ist das Infimum der rechten Grenzen der geschnittenen Intervalle, in diesem Fall 2.
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Ich hätte dann allerdings bei der Ursprünglichen Aufgabe für [mm] \bigcap_{n \in \IN}[ 2^{-k} [/mm] + [mm] (1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}, 2^{-k} [/mm] + 1 - [mm] \bruch{1}{2n-1}] [/mm] = [mm] [2^{-k} [/mm] + 1, [mm] 2^{-k}] [/mm] raus. Was ja nicht stimmen kann.... Wo liegt mein fehler?
LG Loriot95
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Hallo!
> Hm ok. Ich hätte dann allerdings bei der Ursprünglichen
> Aufgabe für [mm]\bigcap_{n \in \IN}[ 2^{-k}[/mm] +
> [mm](1-\bruch{1}{n^{\alpha}})^{n}, 2^{-k}[/mm] + 1 -
> [mm]\bruch{1}{2n-1}][/mm] = [mm][2^{-k}[/mm] + 1, [mm]2^{-k}][/mm] raus. Was ja nicht
> stimmen kann.... Wo liegt mein fehler?
Deinen Fehler [in deinen Überlegungen] kann man dir immer nur sagen, wenn du auch deinen Lösungsweg aufschreibst.
Am linken Intervallende müssen wir uns mit der Folge
[mm](1-\frac{1}{n^\alpha})^{n}[/mm]
auseinandersetzen. Wir müssen das n wählen, für welches der Term am Größten wird. Wir wissen zwar nicht, ob die Folge monoton ist, aber man kann leicht ablesen, dass für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm](1-\frac{1}{n^\alpha})^{n} \le 1[/mm]. Da die Folge gegen [mm]1[/mm] konvergiert, ist also sicher [mm]1[/mm] das Supremum der Folge.
--> Linke Intervallgrenze ist (wie von dir richtig geschrieben) [mm]2^{-k} +1[/mm].
Am rechten Intervallende gehts um die Folge
[mm]1-\frac{1}{2n-1}[/mm]
Wir müssen das n wählen, für welches der Term am kleinsten wird. Die Folge wächst monoton, also wird für n = 1 der kleinste Wert (das Infimum) erreicht, nämlich 0.
--> Rechte Intervallgrenze ist (wie von dir richtig geschrieben) [mm]2^{-k} + 0[/mm]
Es kommt also tatsächlich ein leeres Intervall raus...
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen lieben Dank. :)
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