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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Fr 14.08.2009 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Berechenen Sie
[mm] sup\{|z^7+3iz^3| : |z| \le 1\}.
[/mm]
Wird dieser Wert angenommen? Wenn ja, für welches z mit |z| [mm] \le [/mm] 1? |
Ich habe mit umformen begonnen:
[mm] |z^7 [/mm] + [mm] 3iz^3| [/mm] = [mm] \wurzel{z^{14}+9z^6}.
[/mm]
Danach wollte ich Ableiten, damit ich den maximalen Wert der Funktion herausfinden kann. Doch dies erwies sich als sehr kompliziert? Sollte ich besser anders vorgehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechenen Sie
>
> [mm]sup\{|z^7+3iz^3| : |z| \le 1\}.[/mm]
>
> Wird dieser Wert angenommen? Wenn ja, für welches z mit
> |z| [mm]\le[/mm] 1?
> Ich habe mit umformen begonnen:
>
> [mm]\red{|z^7 + 3iz^3| = \wurzel{z^{14}+9z^6}}.[/mm]
das ist leider schon falsch. Du wolltest
[mm] $$z=x+i*y\;\; \text{ mit }x,y \in \IR \Rightarrow |z|=\sqrt{x^2+y^2}$$
[/mm]
ausnutzen. Beachte aber dabei, dass bei dieser Darstellung $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] zwingend erforderlich ist.
Bei [mm] $z^7+3*iz^3$ [/mm] ist ja $z [mm] \in \IC$ [/mm] und damit i.a. auch [mm] $z^7 \in \IC$ [/mm] und [mm] $z^3 \in \IC\,.$
[/mm]
Es gibt oben zwei mögliche Ansätze:
Der "naive Ansatz":
Schreibe $z=x+i*y$ mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] (d.h. [mm] $x=\text{Re}(z)$ [/mm] und [mm] $y=\text{Im}(z)$). [/mm] Weil $|z| [mm] \le [/mm] 1$ sein soll, sollte hier [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 1$ gefordert werden.
Mithilfe der allg. bin. Formel, des Pascalschen Dreiecks oder einfach durch "Ausrechnen" (Ausmultiplizieren) kannst dann dann [mm] $z^7$ [/mm] und [mm] $z^3$ [/mm] berechnen.
Danach kannst Du [mm] $z^7+3*iz^3$ [/mm] berechnen. Durch Sortieren nach Real- und Imaginärteil kannst Du dann [mm] $\text{Re}(z^7+3*iz^3)$ [/mm] und [mm] $\text{Im}(z^7+3*iz^3)$ [/mm] ablesen und ausnutzen, dass
[mm] $$|z^7+3*iz^3|^2=\text{Re}^2(z^7+3*iz^3)+\text{Im}^2(z^7+3*iz^3)$$
[/mm]
ist.
Ein besserer Ansatz:
Schreibe [mm] $z=|z|*\exp(i*\phi)$ [/mm] mit einem [mm] $\phi \in [0,2\pi)$ [/mm] (![[]](/images/popup.gif) Eulersche Identität). Insbesondere kannst Du [mm] $i=\exp\Big(i*\frac{\pi}{2}\Big)$ [/mm] schreiben. Danach benutze auch, dass für [mm] $z=|z|*\exp(i*\phi)$ [/mm] dann [mm] $\overline{z}=|z|*\exp(-i*\phi)$ [/mm] gilt, so dass [mm] $|w|=\sqrt{w*\overline{w}}$ [/mm] ist.
Auch die Rechenregeln [mm] $\overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b}$ [/mm] bzw. [mm] $\overline{a*b}=\overline{a}*\overline{b}$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IC$ [/mm] sollten geläufig sein.
Somit solltest Du dann schonmal (nach dem Ausrechnen) sehen, wie man die Menge [mm] $\{|z^7+3*iz^3|: |z| \le 1\}$ [/mm] noch beschreiben kann.
(Sofern ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] $=\Big\{\sqrt{|z|^{14}+9|z|^6+|z|^{10}*\;6\cos\Big(4\phi-\frac{\pi}{2}\Big)};\;\;\; |z| \le 1 \text{ und }\phi \in [0,2\pi)\Big\}$.)
[/mm]
Für festes $0 [mm] \le [/mm] |z| [mm] \le [/mm] 1$ kannst Du Dir dann überlegen, was [mm] $\sup\Big\{\sqrt{|z|^{14}+9|z|^6+|z|^{10}*\;6\cos\Big(4\phi-\frac{\pi}{2}\Big)}:\;\; \phi \in [0,2\pi)\Big\}$ [/mm] ist. Anschließend überlege Dir, wie sich dieses Supremum verändert, wenn Du $|z| [mm] \in [0,1]\,,$ [/mm] was ja oben zunächst fest war, variierst (genauer: hier solltest Du $|z| [mm] \to [/mm] 1$ laufen lassen).
Zum Beweis, dass der so gefundene Wert [mm] $S\,$ [/mm] (ich erhalte [mm] $S=\sqrt{16}=4$ [/mm] als das gesuchte Supremum) dann auch wirklich das gesuchte Supremum ist (das also [mm] $S=\sup\{\ldots\}\,$ [/mm] gilt):
Zeige erstens:
Für alle $x [mm] \in \{...\}$ [/mm] gilt $x [mm] \le S\,.$ [/mm] (Dazu benutze z.B. die oben durchgeführten Umformungen:
Aus $x [mm] \in \{\ldots\}$ [/mm] folgt, dass ein $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| [mm] \le [/mm] 1$ existiert, so dass [mm] $x=|z^7+i*3z^3|\,.$ [/mm] Dann läßt sich [mm] $z\,$ [/mm] schreiben als ..., und damit auch [mm] $x=\ldots$ [/mm] etc.)
Dann kannst Du hier zeigen, dass [mm] $\{\ldots\}$ [/mm] sein Supremum enthält, also, dass das Supremum der obigen Menge [mm] $\{\ldots\}$ [/mm] sogar ein Maximum ist. Dazu:
Betrachte z.B. [mm] $z_0=\exp\Big(i*\phi\Big)$ [/mm] mit [mm] $\phi=\frac{\pi}{8}$. [/mm] Wegen [mm] $|z_0^7+3i*z_0^3|=\sqrt{16}=4 \in \{\ldots\}$ [/mm] muss dann nämlich auch $S [mm] \ge [/mm] 4$ gelten...
P.S.:
Nachdem man das ganze oben durchgekaut hat, auch noch eine Alternative, um den Beweis möglichst kurz zu halten:
1.) Sei [mm] $M:=\{|z^7+3iz^3| : |z| \le 1\}\,.$ [/mm] Dann folgt wegen [mm] $|z^k|=|z|^k$ [/mm] ($k [mm] \in \IN_0$), [/mm] $|z*w|=|z|*|w|$ und der Dreiecksungleichung, dass für jedes $x [mm] \in [/mm] M$ gilt:
$$x [mm] \le |z^7|+|3|*|i|*|z^3| \le 1^7+3*1*1^3=4\,.$$
[/mm]
(Beachte: Wegen $x [mm] \in [/mm] M$ existiert ein $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z| [mm] \le [/mm] 1$ so, dass [mm] $x=|z^7+i*3z^3|\,.$)
[/mm]
Damit ist [mm] $4\,$ [/mm] eine obere Schranke für [mm] $M\,.$ [/mm] Mit [mm] $z=\exp\Big(i*\frac{\pi}{8}\Big)$ [/mm] folgt dann, dass [mm] $4\,$ [/mm] auch die kleinste obere Schranke von [mm] $M\,$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 16.08.2009 | | Autor: | one |
Hallo Marcel,
Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe. War wirklich sehr anschaulich.
Liebe Grüsse
one
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