Supremum bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Fr 16.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Hab mal eine wichtige fFrage, bei der ich gerade auf dem Schlauch stehe.
Ich soll mit der Defintion vom Supremum nachweisen, dass folgendes gilt:
sup [mm] \{ \bruch{2n+1}{1n+1 } : n\in \IN \}= [/mm] 2
zuerst muss ich zeigen, dass [mm] \bruch{2n+1}{1n+1 } [/mm] nicht größer als 2 werden kann:
[mm] \bruch{2n+1}{1n+1 } \le 2 [/mm]
[mm] 2n+1 \le 2n+2 /-2n [/mm]
[mm] 1 \le 2 [/mm]
das stimmt also schon mal.
nun muss ich ja zeigen, dass es keine kleinere obere Schranke mehr gibt als 2:
Ich nehme an, dass eine solche Schranke existiert:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und gelte:
[mm] \bruch{2n+1}{1n+1 } \le 2 - \varepsilon [/mm]
[mm] 2n+1 \le 2n+2 - \varepsilon *(n+1) [/mm]
[mm] 1 \le 2- \varepsilon *(n+1) [/mm]
[mm] 1 \ge \varepsilon *(n+1) [/mm]
[mm] \varepsilon \le \bruch{1}{n+1} [/mm]
so und hier liegt nun mein Problem!
Wie soll hier nun zeigen, dass ein Widerspruch entsteht? ich hätte ja gesagt, dass wenn n ins unendliche geht, dass dann [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] gegen 0 strebt...
und dann der Widerspruch 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 0 sodass [mm] \varepsilon [/mm] =0 gelten muss.
Der Haken ist jedoch 1. weiß ich nicht ob das überhaupt so geht
2. eigentlich soll ich es ja ohne limes machen.
Wie geht das dann?
Könnte ich für n = [mm] \bruch{1}{\varepsilon } [/mm] einsetzen??
dann würde ja stehen:
[mm] 1 \ge \varepsilon *(\bruch{1}{\varepsilon } +1) [/mm]
[mm] 1 \ge 1 + \varepsilon [/mm]
sodass ebenfalls folgt
[mm] \varepsilon [/mm] =0
stimmt das???
Vielen Dank und Gruß!
|
|
| |
|
Hallo m0ppel,
deine Lösung geht den Standardweg...
> zuerst muss ich zeigen, dass [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 }[/mm] nicht größer als 2 werden kann:
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 } \le 2[/mm]
> [mm]2n+1 \le 2n+2 /-2n[/mm]
> [mm]1 \le 2[/mm]
>
> das stimmt also schon mal.
Das ist goldrichtig.
> nun muss ich ja zeigen, dass es keine kleinere obere
> Schranke mehr gibt als 2.
Das ist ebenfalls eine sehr gute Idee,...
> Ich nehme an, dass eine solche Schranke existiert:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 und gelte:
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1} \le 2 - \varepsilon[/mm]
... und bis hierhin ist es immer noch perfekt.
Wichtig ist aber hier im Hinterkopf zu behalten, dass diese letzte Bedingung nicht einfach nur so als Ungleichung da steht. Hier geht es doch darum, dass für irgendein positives [mm]\varepsilon[/mm], das du dir nach Lust und Laune aussuchen kannst, diese Ungleichung gilt.
Aber für welche [mm]n[/mm] muss die Ungleichung denn gelten?
> [mm]\varepsilon \le \bruch{1}{n+1}[/mm]
Das ist eine Form der Ungleichung, mit der du einen Verstoß gegen die Bedingung aufzeigen kannst. Der Limes von dem du gesprochen hast ist eigentlich nur eine Art Rechenhilfe, d.h. der Limes hat eine Eigenschaft, mit der man dann zeigen kann, was du zeigen sollst. Aber du sollst es wohl ohne Limes machen, weil man ihn nicht wirklich braucht.
Kommst du mit diesem Tipp schon weiter?
Liebe Grüße
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Fr 16.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Hallo, danke für deine Antwort!
> $ [mm] \varepsilon \le \bruch{1}{n+1} [/mm] $
n [mm] \in \IN [/mm] und je größer mein n ist, desto näher komm ich an die 0 ran.
da [mm] \epsilon [/mm] größer als 0 sein muss wär da ein wiederspruch. das wollte ich ja mit dem limes zeigen.
wie ich es anders zeigen soll weiß ich leider immer noch nicht :/
lg
|
|
|
| |
|
Huhu,
> > [mm]\varepsilon \le \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
>
> n [mm]\in \IN[/mm] und je größer mein n ist, desto näher komm ich
> an die 0 ran.
> da [mm]\epsilon[/mm] größer als 0 sein muss wär da ein
> wiederspruch. das wollte ich ja mit dem limes zeigen.
>
> wie ich es anders zeigen soll weiß ich leider immer noch
> nicht :/
ok, halten wir fest: Obige Ungleichung soll für ALLE [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten.
Findest du denn jetzt (mindestens) 1 (!) [mm] $n_0$, [/mm] so dass die Ungleichung NICHT gilt?
Du hattest ja schon die richtige Idee, welches n erfüllt die Ungleichung denn nicht?
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Fr 16.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Also n muss entweder sehr groß sein oder von [mm] \epsilon [/mm] abhängig, so dass ein Wiederspruch entsteht.
Ich könnte jetzt umformen:
[mm]\varepsilon \le \bruch{1}{n+1} = \varepsilon + \varepsilon*n \le 1 = \varepsilon*n \le 1 - \varepsilon[/mm]
wenn ich jetzt jetzt [mm]n=\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] wähle erhalte ich [mm]1 \le 1-\varepsilon[/mm] und das ist ein Wiederspruch, da [mm]\varepsilon > 0 [/mm]
Problem ist, dass [mm]n \in \IN[/mm]. Die Ungleichung ist also nur für solche [mm] \varepsilon [/mm] möglich, wo eine Zahl [mm] \in \IN [/mm] "entsteht" oder?
|
|
|
| |
|
Du gehst da viel zu kompliziert ran, und zwar:
Die Frage ist ja, ob für alle n gilt:
$ [mm] \varepsilon \le \bruch{1}{n+1} [/mm] $
bzw. die Negation:
Gibt es ein [mm] n_0, [/mm] so dass
$ [mm] \varepsilon [/mm] > [mm] \bruch{1}{n_0+1} [/mm] $
Formen wir das jetzt äquivalent um:
[mm] \gdw $n_0 [/mm] > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] - 1$
Naja, und da finden wir nicht nur eins, sondern unendlich viele für festes [mm] \varepsilon [/mm] .....
Damit gilt die Negation.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Sa 17.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hab mal eine wichtige fFrage, bei der ich gerade auf dem
> Schlauch stehe.
>
> Ich soll mit der Defintion vom Supremum nachweisen, dass
> folgendes gilt:
> sup [mm]\{ \bruch{2n+1}{1n+1 } : n\in \IN \}=[/mm] 2
>
> zuerst muss ich zeigen, dass [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 }[/mm] nicht
> größer als 2 werden kann:
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 } \le 2[/mm]
> [mm]2n+1 \le 2n+2 /-2n[/mm]
> [mm]1 \le 2[/mm]
>
> das stimmt also schon mal.
> nun muss ich ja zeigen, dass es keine kleinere obere
> Schranke mehr gibt als 2:
> Ich nehme an, dass eine solche Schranke existiert:
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 und gelte:
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 } \le 2 - \varepsilon[/mm]
> [mm]2n+1 \le 2n+2 - \varepsilon *(n+1)[/mm]
>
> [mm]1 \le 2- \varepsilon *(n+1)[/mm]
> [mm]1 \ge \varepsilon *(n+1)[/mm]
>
> [mm]\varepsilon \le \bruch{1}{n+1}[/mm]
> so und hier liegt nun mein
> Problem!
> Wie soll hier nun zeigen, dass ein Widerspruch entsteht?
> ich hätte ja gesagt, dass wenn n ins unendliche geht, dass
> dann [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm] gegen 0 strebt...
> und dann der Widerspruch 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < 0 sodass
> [mm]\varepsilon[/mm] =0 gelten muss.
> Der Haken ist jedoch 1. weiß ich nicht ob das überhaupt
> so geht
> 2. eigentlich soll ich es ja ohne limes machen.
>
> Wie geht das dann?
> Könnte ich für n = [mm]\bruch{1}{\varepsilon }[/mm] einsetzen??
> dann würde ja stehen:
>
> [mm]1 \ge \varepsilon *(\bruch{1}{\varepsilon } +1)[/mm]
> [mm]1 \ge 1 + \varepsilon[/mm]
>
> sodass ebenfalls folgt
> [mm]\varepsilon[/mm] =0
> stimmt das???
>
> Vielen Dank und Gruß!
>
Für [mm] (n,a)\in\IN\times\IR [/mm] gilt [mm] (\frac{2n+1}{n+1}=2-\frac{1}{n+1}
LG
gfm
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Sa 17.07.2010 | | Autor: | m0ppel |
Ok, dann mal so rum:
sagen wir ich hätte angenommen, dass 3 die kleinste obere Schranke ist.
Dann müsste ja bei
[mm] \bruch{2n+1}{1n+1 } \le 3 - \varepsilon [/mm]
herauskommen, dass ein solches [mm] \varepsilon [/mm] existiert.
[mm] 2n+1 \le 3*(n+1) - \varepsilon *(n+1) [/mm]
[mm] \bruch{-n-2}{n+1} \le - \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{n+2}{n+1} \ge \varepsilon [/mm]
[mm] 1 + \bruch{1}{n+1} > 1 \ge \varepsilon [/mm]
daraus könnte ich dann schließen, dass für alle [mm]n[/mm] gilt [mm] \bruch{2n+1}{1n+1 } \le 3 - \varepsilon [/mm] mit [mm] \varepsilon=1
[/mm]
Beim letzten Schritt bin ich mir nicht ganz sicher, aber es ging mir jetzt mal darum, wie der Nachweis aussieht, wenn mein gewähltes Supremum nicht das echte Supremum ist.
Würde das so stimmen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 17.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ok, dann mal so rum:
> sagen wir ich hätte angenommen, dass 3 die kleinste obere
> Schranke ist.
> Dann müsste ja bei
>
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 } \le 3 - \varepsilon[/mm]
> herauskommen, dass
> ein solches [mm]\varepsilon[/mm] existiert.
> [mm]2n+1 \le 3*(n+1) - \varepsilon *(n+1)[/mm]
> [mm]\bruch{-n-2}{n+1} \le - \varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{n+2}{n+1} \ge \varepsilon[/mm]
> [mm]1 + \bruch{1}{n+1} > 1 \ge \varepsilon[/mm]
>
> daraus könnte ich dann schließen, dass für alle [mm]n[/mm] gilt
> [mm]\bruch{2n+1}{1n+1 } \le 3 - \varepsilon[/mm] mit [mm]\varepsilon=1[/mm]
> Beim letzten Schritt bin ich mir nicht ganz sicher, aber
> es ging mir jetzt mal darum, wie der Nachweis aussieht,
> wenn mein gewähltes Supremum nicht das echte Supremum
> ist.
> Würde das so stimmen?
Ja.
Hier noch einmal die Struktur einer Herangehensweise:
Du suchst ja das Supremum [mm] \sup\{f(x):x\in M\} [/mm] einer Menge von Zahlen, die durch eine Funktion f und einem Argumentbereich M definiert ist. Eine obere Schranke ist eine Zahl a, die [mm] f(x)\le [/mm] a für alle [mm] x\in [/mm] M erfüllt: [mm] (f(x)\le a\wedge x\in [/mm] M) [mm] \gdw (f(x)\in (-\infty,a] \wedge x\in [/mm] M). Wenn das weiter zu einer Aussage [mm] (x\in M(a)\wedge x\in [/mm] M) umgeformt werden kann, wobei M(a) eine Menge bezeichnet, die von a abhängt, muss man dann schauen, für welche a gilt [mm] M\subseteq [/mm] M(a). Aus der Forderung [mm] M\subseteq [/mm] M(a) erhält man dann [mm] a\in [/mm] S für eine gewisse Menge und damit ist dann [mm] \sup\{f(x):x\in M\}=\inf [/mm] S.
Dein Beispiel:
[mm] \sup\{f(x):x\in M\}=\sup\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\IN\} [/mm] ist zu bestimmen.
[mm] (\frac{2n+1}{n+1}\le a)\gdw(\frac{2n+1}{n+1}\in(-\infty,a])\gdw(2-\frac{1}{n+1}\in(-\infty,a])\gdw(-\frac{1}{n+1}\in(-\infty,a-2])\gdw(\frac{1}{n+1}\in[2-a,\infty))
[/mm]
Wenn man die sich für n in Abhängigkeit von a ergebenen Mengen mit [mm] \IN [/mm] vergleicht, sieht man hier schon, dass a=2 der kleineste Wert ist, für den für alle [mm] n\in \IN [/mm] obige Ausgangsgleichgung erfüllt ist, denn 1/(n+1) ist für alle [mm] n\in\IN [/mm] postiv. Somit kann für [mm] a\ge2 [/mm] die Ausgangsgleichgung sicher für alle [mm] n\in\IN [/mm] erfüllt werden. Wenn a kleiner als 2 ist, ist 2-a echt positiv. 1/(n+1) wird jedoch beliebig klein:
a>2: [mm] \frac{1}{n+1}\in[2-a,\infty)=[2-a,0)\cup\{0\}\cup(0,\infty)\gdw n\in M(a):=\left(-\infty,\frac{1}{2-a}-1\right]\cup\left(-1,\infty\right)
[/mm]
a=2: [mm] \frac{1}{n+1}\in[0,\infty) \gdw n\in M(2)=(-1,\infty)
[/mm]
[mm]a<2: \frac{1}{n+1}\in[2-a,\infty)\gdw n\in M(a):=\left(-1,\frac{1}{2-a}-1\right) [/mm]
[mm] \Rightarrow \IN [/mm] ist nur in M(a) für [mm] a\ge2 [/mm] enthalten.
Das war jetzt sehr ausführlich. Das ganze läßt sich in dieser Struktur (wie im anderen Posting angedeutet) auch knapper bestreiten.
LG
gfm
|
|
|
|
