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Hey ihr
es geht um folgende Aufgabe:
für r [mm] \in \IR [/mm] und für n [mm] \in \IN [/mm] sei:
[mm] (a_{n})^{r} [/mm] = [mm] n^{r} [/mm] * ( [mm] n^{1/n} [/mm] - 1)
Zeigen sie für die Menge M= { [mm] r\in \IR [/mm] | [mm] (a_{n})^{r} [/mm] ist beschränkte Folge)} ist sup M =1
meine Ansätze:
Das Monotnoniekriterium besagt ja, dass wenn eine Folge monoton steigend ist und es ein ein c>0 gibt mein [mm] a_{n} \le [/mm] c , dass die Folge dann beschrämkt ist..
dann müsste ich an dieser Stelle ja nur beweisen das die Funktion monoton steigend ist oder?
und das beweise ich ja durch [mm] a_{n+1} \ge a_n
[/mm]
das würde ich dann mit Hilfe der Folge umformen zu:
[mm] \frac{n^{r}*(n^{1/n+1}-1)}{n^{r}*(n^{1/n}-1)} \ge [/mm] 1
[mm] \gdw \frac{(n^{1/n+1}-1)}{(n^{1/n}-1)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] ?? Wie kann man hier weiter umformen?
bin ich am Holzweg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> bin ich am Holzweg?
Ja.
Du scheinst die Aufgabe nicht verstanden zu haben.
Nochmal anders Formuliert: Gegeben seien für alle [mm] $r\in \IR$ [/mm] die Folge
$ [mm] (a_{n})^{r} [/mm] = [mm] n^r*\left(\sqrt[n]{n} - 1\right)$
[/mm]
Nun betrachtest du die Menge
$M = [mm] \left\{r\in\IR | (a_{n})^{r} \text{ ist beschränkt }\right\}$
[/mm]
Du sollst nun zeigen, dass gilt: [mm] $\sup [/mm] M = 1$.
Mach dir erstmal klar, welche Fall da für r=1 eintreten kann.
Gruß,
Gono.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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hey
danke erstmal
also für r=1 geht die Funktion gegen unendlich. Das bedeutet ja das sie divergiert. Also darf r nie die Form 1 annehmen, da die Folge ja beschränkt sein soll, richtig? dann ist r festgelegt durch 0<r<1
aber was bringt mir das bezüglich des Beweises des Supremums?
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Hiho,
> also für r=1 geht die Funktion gegen unendlich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Kannst du das auch zeigen?
> Das bedeutet ja das sie divergiert. Also darf r nie die Form 1 annehmen, da die Folge ja beschränkt sein soll, richtig?
Auch wenn du dich seltsam ausdrückst, meinst du das richtige.
Korrekt wäre wohl eher: Damit folgt sofort, dass [mm] $r\not\in [/mm] M$.
> dann ist r festgelegt durch 0<r<1
Warum?
Hast du denn bereits gezeigt, dass die Folge für diese r beschränkt ist?
Davon hab ich bisher nichts gesehen.
Wenn du das zeigen könntest, wärst du aber fertig, ja.
Gruß,
Gono.
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heyho
danke erstmal. aber ich stehe leider gerade auf dem Schlauch wie ich dies zeigen soll
also die Formulierung wäre ja:
[mm] |(a_{n})^{r} [/mm] - 1 | [mm] \le \epsilon [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und r [mm] \in \IQ [/mm] mit 0<r<1
ich müsste ja jetzt erstmal die linke Seite der Ungleichung abschätzen, richtig?
aber wie setze ich da an?
vielleicht:
[mm] |(a_{n})^{r} [/mm] - 1 | [mm] \le |(a_{n})^{r}|+ [/mm] |- 1 | = [mm] (a_{n})^{r}+ [/mm] 1
wobei mir das ja nicht viel bringt..
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Hiho,
> also die Formulierung wäre ja:
> [mm]|(a_{n})^{r}[/mm] - 1 | [mm]\le \epsilon[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] und r [mm]\in \IQ[/mm] mit 0<r<1
Warum?
Du solltest dir vielleicht erst einmal klar machen, was du zeigen willst und was du da hin geschrieben hast.
1.) Du willst zeigen, dass [mm] (a_{n})^{r} [/mm] beschränkt ist, für bestimmte r. Wann ist das der Fall.
2.) Wieso nimmst du jetzt [mm] $r\in\IQ$ [/mm] an?
3.) Was du hingeschrieben hast, wäre die Konvergenz von [mm] $(a_{n})^{r}$ [/mm] gegen 1, aber warum sollte das gelten? Davon steht nirgends etwas.
Ein bisschen mehr Konzentration bitte!
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
>
> > also die Formulierung wäre ja:
> > [mm]|(a_{n})^{r}[/mm] - 1 | [mm]\le \epsilon[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm] und r
> [mm]\in \IQ[/mm] mit 0<r<1
>
> Warum?
> Du solltest dir vielleicht erst einmal klar machen, was du
> zeigen willst und was du da hin geschrieben hast.
>
> 1.) Du willst zeigen, dass [mm](a_{n})^{r}[/mm] beschränkt ist,
> für bestimmte r. Wann ist das der Fall.
wie setze ich denn da an?
> 2.) Wieso nimmst du jetzt [mm]r\in\IQ[/mm] an?
tut mir leid, das war ein Tippfehler. ich meinte natürlich r [mm] \in \IR
[/mm]
> 3.) Was du hingeschrieben hast, wäre die Konvergenz von
> [mm](a_{n})^{r}[/mm] gegen 1, aber warum sollte das gelten? Davon
> steht nirgends etwas.
weil die kleinste oberere Schranke doch =1 ist. das heißt doch, das für bestimme Werte von r [mm] \in \IR [/mm] die Folge durch 1 beschränkt ist, oder?
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Hiho,
> wie setze ich denn da an?
Na was muss denn gelten, damit eine Folge beschränkt ist?
Ganz allgemein erstmal.
R[/mm]
> > 3.) Was du hingeschrieben hast, wäre die Konvergenz von
> > [mm](a_{n})^{r}[/mm] gegen 1, aber warum sollte das gelten? Davon
> > steht nirgends etwas.
>
> weil die kleinste oberere Schranke doch =1 ist. das heißt doch, das für bestimme Werte von r [mm]\in \IR[/mm] die Folge durch 1 beschränkt ist, oder?
Nein, du schmeißt hier Begrifflichkeiten zusammen, die nicht zusammen gehören.
Das eine ist das Supremum einer Menge von reellen Zahlen, das du bestimmen sollst mit der Beschränktheit der Zahlenfolgen, die die Menge definieren.
Durch welche Zahl die Folgen beschränkt sind, spielt dabei keine Rolle, nur DASS sie es sind.
Zeige: Die Folge [mm] a_n^r [/mm] ist für 0<r<1 konvergent. Bspw. mit L'Hospital.
Daraus folgt für die Folgen insbesondere was?
Gruß,
Gono.
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> Hiho,
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> > wie setze ich denn da an?
>
> Na was muss denn gelten, damit eine Folge beschränkt ist?
> Ganz allgemein erstmal.
>
na damit sie beschränkt ist muss es eine N [mm] \le [/mm] n geben, für das [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] Grenzwert|\le \epsilon [/mm] gelten
>
> Das eine ist das Supremum einer Menge von reellen Zahlen,
> das du bestimmen sollst mit der Beschränktheit der
> Zahlenfolgen, die die Menge definieren.
> Durch welche Zahl die Folgen beschränkt sind, spielt
> dabei keine Rolle, nur DASS sie es sind.
>
> Zeige: Die Folge [mm]a_n^r[/mm] ist für 0<r<1 konvergent. Bspw. mit
> L'Hospital.
L'Hospital haben wir leider weder in der Uni noch in der Schule verwendet. Daher darf ich das nicht benutzen
und wenn ich den Grenzwert nicht kenne, wie beweise ich dann das sie konvergent ist? vielleicht mit dem Cauchy kriterium?
> Daraus folgt für die Folgen insbesondere was?
was meinst du?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hiho,
> >
> > > wie setze ich denn da an?
> >
> > Na was muss denn gelten, damit eine Folge beschränkt ist?
> > Ganz allgemein erstmal.
> >
> na damit sie beschränkt ist muss es eine N [mm]\le[/mm] n geben,
> für das [mm]|a_{n}[/mm] - [mm]Grenzwert|\le \epsilon[/mm] gelten
nein, Beschränktheit ist nicht das Gleiche wie Konvergenz - und selbst in
letztem Falle wäre Deine Formulierung "sehr bedürftig". Schlag' nach, wann
man eine (reellwertige) Folge (nach oben bzw. nach unten, oder, wenn sie
beides ist:) beschränkt nennt!
Gruß,
Marcel
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damit eine Folge beschränkt ist muss ein Supremum oder ein Infimum existieren, richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> damit eine Folge beschränkt ist muss ein Supremum oder ein
> Infimum existieren, richtig?
nein. Das kann man vielleicht ausbauen, aber Du müsstest schonmal damit
anfangen, zu sagen, für was es denn ein Supremum geben muss? Und wenn
ich eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] habe, für die gilt:
Es existiert [mm] $\sup\{a_n:\;\; n \in \IN\}\;\in\;\IR\,,$
[/mm]
dann ist diese Folge zwar nach oben beschränkt, aber noch lange nicht
nach unten beschränkt. Und eine Folge heißt halt beschränkt, wenn sie
sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist (wir sind ja bei
reellwertigen Folgen).
Im Prinzip ist die Sache aber viel einfacher zu formulieren:
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl $O [mm] \in \IR$
[/mm]
derart gibt, dass
[mm] $a_n \;\le\;O$ [/mm] für ALLE $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gilt. Das ist äquivalent dazu, dass
[mm] $\{a_n:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
eine obere Schranke hat - allerdings gibt es sehr viele solcher Schranken,
wenn denn nur eine existiert. Obere Schranken sind halt nicht immer die
"bestmöglichen" (im Sinne von "möglichst klein"). Für das Supremum (einer
Menge [mm] $M\,$) [/mm] kann man sich merken:
"Es ist so groß wie nötig, aber so klein wie möglich."
In diesem Sinne "eine optimale obere Schranke (der entsprechenden
Menge)".
Damit das klarer wird:
Ist [mm] $M\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte Menge, sei etwa
[mm] $O_M \in \IR$
[/mm]
eine obere Schranke für [mm] $M\,,$ [/mm] so ist für JEDES [mm] $\epsilon \ge 0\,$ [/mm] auch
[mm] $O_M+\epsilon$
[/mm]
eine obere Schranke für [mm] $M\,.$ [/mm] Ferner gilt mit Sicherheit:
[mm] $\sup M\;\le\;O_M\,.$
[/mm]
Das Fazit für Dich: Nicht raten, sondern Begriffe und Definitionen erst mal
nachschlagen, danach erst "uminterpretieren" - wobei eine solche Uminterpretation
eigentlich nur heißt, dass Du versucht, das Ganze so umzuformulieren, dass
der umformulierte Satz äquivalent zur Ausgangssituation ist (Charakterisierung
sagt man auch dazu). Und wie das in der Mathematik halt so ist:
Wenn man behauptet, dass
[mm] $A\,$ $\iff$ $B\,,$
[/mm]
dann hat man halt
sowohl
[mm] $A\,$ $\Longrightarrow$ $B\,$
[/mm]
als auch
[mm] $B\,$ $\Longrightarrow$ $A\,$
[/mm]
zu beweisen!!
Wenn Du aber eh mit [mm] $A\,$ [/mm] (etwa rein per Definitionem) arbeiten kannst,
dann ist eher die Frage, warum Du überhaupt [mm] $B\,$ [/mm] formuliert hast... (Da ist
dann eher die Frage: Wozu diese unnötige Arbeit?)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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