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Forum "Analysis des R1" - Supremumsaxiom in Q
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Supremumsaxiom in Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 Mi 31.12.2008
Autor: Der-Madde-Freund

Hi,
das Supremumsaxiom lautet ja "Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] hat ein Supremum!"

Dann taucht ja oft ein Satz auf wie "In [mm] \IQ [/mm] gilt das Supremumsaxiom nicht (sonst wäre [mm] \wurzel{2} \in \IQ)." [/mm]

Nimmt man dann die Menge A:={x [mm] \in \IR [/mm] | x² < 2} so weiß man ja, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] hier das Supremum wäre, aber [mm] \wurzel{2} \not\in \IQ [/mm] liegt.

Das ist mir auch eigtl. alles klar, aber müsste das Supremumsaxiom dann auch nicht in [mm] \IN [/mm] gelten, da [mm] \wurzel{2} \not\in \IN [/mm] ist?

        
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Mi 31.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Hi,
>  das Supremumsaxiom lautet ja "Jede nichtleere nach oben
> beschränkte Teilmenge von [mm]\IR[/mm] hat ein Supremum!"
>  
> Dann taucht ja oft ein Satz auf wie "In [mm]\IQ[/mm] gilt das
> Supremumsaxiom nicht (sonst wäre [mm]\wurzel{2} \in \IQ)."[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Nimmt man dann die Menge A:={x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

| x² < 2} so weiß

> man ja, dass [mm]\wurzel{2}[/mm] hier das Supremum wäre, aber
> [mm]\wurzel{2} \not\in \IQ[/mm] liegt.
>  
> Das ist mir auch eigtl. alles klar, aber müsste das
> Supremumsaxiom dann auch nicht in [mm]\IN[/mm] gelten, da [mm]\wurzel{2} \not\in \IN[/mm]
> ist?

Hallo,

Es dürfte schwer sein, eine Teilmenge von [mm] \IN [/mm] zu finden so, daß in jeder  Umgebung von  [mm] \wurzel{2} [/mm] eine natürliche Zahl liegt.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 Mi 31.12.2008
Autor: Der-Madde-Freund

Daher gilt das Supremumsaxiom doch NUR für [mm] \IR, [/mm] oder?

Bezug
                        
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 Mi 31.12.2008
Autor: angela.h.b.


> Daher gilt das Supremumsaxiom doch NUR für [mm]\IR,[/mm] oder?

Hallo,

nehmen wir doch mal ein bißchen Hausfrauenverstand:

wenn wir eine nach oben beschränkte Teilmenge der natürlich Zahlen haben, dann hat die natürlich ein Maximum. Also ein Supremum.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:11 Mi 31.12.2008
Autor: Der-Madde-Freund

Aber nehmen wir doch die Menge von oben
A:={x [mm] \in \IR [/mm]  | x² < 2}

Diese Menge besitzt doch in [mm] \IN [/mm] und [mm] \IQ [/mm] kein Supremum, nur eine obere Schranke... oder?

Bezug
                                        
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 31.12.2008
Autor: angela.h.b.

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> Aber nehmen wir doch die Menge von oben
>  A:={x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  | x² < 2}

>  
> Diese Menge besitzt doch in [mm]\IN[/mm] und [mm]\IQ[/mm] kein Supremum, nur
> eine obere Schranke... oder?

Hallo,

das Supremum dieser Menge ist [mm] \wurzel{2} [/mm] und liegt somit weder in [mm] \IN [/mm] noch in [mm] \IQ. [/mm]

Meinst Du aber vielleicht was anderes?

Die Menge

[mm] A_{\IN}:={x \in \IN | x² < 2} [/mm] hat sehr woh ein Supremum in [mm] \IN, [/mm] nämlich die 1, welche gleichzeitig das Maximum ist.

Allerdings ist

[mm] A_{\IQ}:={x \in \IQ | x² < 2} [/mm] ganz sicher nach oben beschränkt, jedoch hat die Menge kein Supremum in [mm] \IQ. [/mm]

Meintest Du das?

Gruß v. Angela





Bezug
                                                
Bezug
Supremumsaxiom in Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Mi 31.12.2008
Autor: Der-Madde-Freund

Ja, ok ich hätte wohl die Menge genauer definieren sollen, sorry :s

Bezug
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