Surjektion, Injektion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Di 07.11.2006 | | Autor: | zetamy |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussagen:
a) [mm]f: X\to Y[/mm] ist genau dann surjektiv, wenn für beliebige Abbildungen [mm]g_1, g_2:Y\to Z[/mm] aus [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm] die Beziehung [mm]g_1=g_2[/mm] folgt.
b) [mm]g:X\to Z[/mm] ist genau dann injektiv, wenn für beliebige Abbildungen [mm]f_1, f_2: X\to Y[/mm] aus [mm]g\circ f_1=g\circ f_2[/mm] folgt. |
Hallo,
meine Lösungen scheinen mir selbst nicht ganz schlüssig. Bin für jeden Tipp/jede Korrektur dankbar.
a) Sei f surjektiv, also gilt: [mm]\forall y\in Y \exists x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y [/mm] und seien [mm]g_1, g_2: Y\to Z[/mm] beliebige Abbildungen mit [mm]g_1(y)=z[/mm] und [mm]g_2(y)=z \forall y\in Y[/mm]. Dann existiert [mm]\forall z\in Z[/mm], für die [mm]g_1(y)=z[/mm] gilt, min ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]g_1(y)=g_1(f(x))=(g_1\circ f)(x)=z[/mm]. Ebenso für g2. Daraus folgt [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm], wenn gilt [mm] g_1=(g_2\circ f)\circ f=g_2\circ(f\circ f)=g_2[/mm].
Dann ist jedem [mm] z\in Z [/mm], für das gilt [mm] (g\circ f)=z [/mm] auch min ein [mm] y\in Y [/mm] zugeordnet und daher jedem [mm] y\in Y [/mm] min ein [mm] x\in X [/mm], also f surjektiv.
b) Sei g injektiv, so gilt laut Def [mm]\forall z\in Z[/mm] existiert höchstens ein [mm]y\in Y[/mm], und seien [mm]f_1, f_2[/mm] beliebige Abb. Da zudem jedem [mm]x\in X[/mm] genau ein [mm]y\in Y[/mm] und jedem [mm]y\in Y[/mm] genau ein [mm]z\in Z[/mm] zugeordnet ist, existiert für jedes [mm]x\in X[/mm] genau ein [mm]z\in Z[/mm]. Dann existiert für alle [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f_1(x)=y[/mm] bzw [mm]f_2(x)=x[/mm], für die g(y)=z gilt, auch ein [mm]z\in Z[/mm] mit [mm](g\circ f_1)(x)=z[/mm] bzw [mm](g\circ f_2)(x)=z[/mm]. Da g injektiv folgt, [mm]g\circ f_1=g\circ f_2=z[/mm], also [mm]f_1=g\circ(g\circ f_2)=(g\circ g)\circ f_2=f_2[/mm].
Dann ist jedem [mm]x\in X[/mm], für das f(x)=y gilt, genau ein [mm]z\in Z[/mm] zugeordnet. Da f beliebig, muss g inj sein.
Hoffentich ist das kein zu großer Schwachsinn  .
Vielen Dank nochmal, zetamy.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 07.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
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> a) Sei f surjektiv, also gilt: [mm]\forall y\in Y \exists x\in X[/mm]
> mit [mm]f(x)=y[/mm] und seien [mm]g_1, g_2: Y\to Z[/mm] beliebige Abbildungen
> mit [mm]g_1(y)=z[/mm] und [mm]g_2(y)=z \forall y\in Y[/mm]. Dann existiert
> [mm]\forall z\in Z[/mm], für die [mm]g_1(y)=z[/mm] gilt, min ein [mm]x\in X[/mm] mit
> [mm]g_1(y)=g_1(f(x))=(g_1\circ f)(x)=z[/mm]. Ebenso für g2. Daraus
> folgt [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm], wenn gilt [mm]g_1=(g_2\circ f)\circ f=g_2\circ(f\circ f)=g_2[/mm].
>
da steckt schon der Wurm drin.
mach es mal ganz richtig indem du beide Richtungen seperat zeigst, also:
1) sei f surjektiv, dann folgt : "aus [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm] folgt [mm] g_1=g_2"
[/mm]
2) es gelte : "aus [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm] folgt [mm] g_1=g_2" [/mm] dann folgt daraus, dass f surjektiv ist.
zu 1) f sei surjektiv und es gelte [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm] , angenommen es würde dann nicht gelten, dass [mm] g_1=g_2 [/mm] ist, dann gibt es also ein y mit [mm] $g_1(y)\not= g_2(y)$ [/mm] , zu diesem y gibt es aber wegen der surjektivität von f ein x, so dass...
schaffst du den rest hier von 1) ?
zu 2) es gelte für BELIEBIGE [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] die Aussage:
"aus [mm]g_1\circ f=g_2\circ f[/mm] folgt [mm] g_1=g_2" [/mm] , angenommen f sei nicht surjektiv, d.h. es gibt ein y, dass "nicht getroffen wird", was passiert wenn du dir [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] wählst mit [mm] $g_1(y)\not= g_2(y)$ [/mm] ?!?
>
> b) Sei g injektiv, so gilt laut Def [mm]\forall z\in Z[/mm]
> existiert höchstens ein [mm]y\in Y[/mm], und seien [mm]f_1, f_2[/mm]
> beliebige Abb. Da zudem jedem [mm]x\in X[/mm] genau ein [mm]y\in Y[/mm] und
> jedem [mm]y\in Y[/mm] genau ein [mm]z\in Z[/mm] zugeordnet ist, existiert für
> jedes [mm]x\in X[/mm] genau ein [mm]z\in Z[/mm]. Dann existiert für alle [mm]x\in X[/mm]
> mit [mm]f_1(x)=y[/mm] bzw [mm]f_2(x)=x[/mm], für die g(y)=z gilt, auch ein
> [mm]z\in Z[/mm] mit [mm](g\circ f_1)(x)=z[/mm] bzw [mm](g\circ f_2)(x)=z[/mm]. Da g
> injektiv folgt, [mm]g\circ f_1=g\circ f_2=z[/mm],
ja, bis hierhin scheint es zwar nicht wirklich voran zu kommen, aber es ist zumindest nicht falsch.
> also
> [mm]f_1=g\circ(g\circ f_2)=(g\circ g)\circ f_2=f_2[/mm].
Das hier ergibt keinen Sinn - rein von der Schreibweise kannst du nicht g nach g schreiben... (war im Teil a) auch schon falsch)
> Dann ist
> jedem [mm]x\in X[/mm], für das f(x)=y gilt, genau ein [mm]z\in Z[/mm]
> zugeordnet. Da f beliebig, muss g inj sein.
versuch doch auch hier mal beide Richtungen seperat (und am einfachsten mit Widerspruch) zu führen, denn die zweite Richtung hast du versucht da im letzten Satz unterzubringen, was eindeutig zu wenig ist.
viele Grüße
DaMenge
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