Surjektive Abbildung N -> Q < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Bestimme eine surjektive Abbildung von ℕ nach ℚ.
b) Folgere aus a), dass es überabzählbar viele irra-
tionale Zahlen gibt. |
zu a)
[mm] f:\IN \mapsto \IQ
[/mm]
Sei n [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] f(n)=\bruch{1}{n} [/mm] genügt der Anforderung [mm] f:\IN \mapsto \IQ^{+} [/mm] aber nicht gesamt [mm] \IQ [/mm] und ist auch nicht surjektiv sondern injektiv
quadratische Funktionen können surjektiv sein, wenn man den Definitionsbereich entsprechend wählt bzw. sie entsprechend verschiebt: Durch Verschiebung entlang der x-Achse lässt sich die Surjektivitätsanforderung erfüllen und durch Verschiebung an der y-Achse die Anforderung: [mm] f:\IN \mapsto \IQ [/mm] gesamt:
f(n)= [mm] (\bruch{1}{n}-n)^{2}-4n;
[/mm]
Liege ich mit meinem Lösungsversuch richtig?
zu b)
Sind hier Cantors Diagonalargumente hilfreich?
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hi,
> a) Bestimme eine surjektive Abbildung von ℕ nach ℚ.
> b) Folgere aus a), dass es überabzählbar viele irra-
> tionale Zahlen gibt.
> zu a)
> [mm]f:\IN \mapsto \IQ[/mm]
> Sei n [mm]\in \IN:[/mm]
>
> [mm]f(n)=\bruch{1}{n}[/mm] genügt der Anforderung [mm]f:\IN \mapsto \IQ^{+}[/mm]
> aber nicht gesamt [mm]\IQ[/mm] und ist auch nicht surjektiv sondern
> injektiv
> quadratische Funktionen können surjektiv sein, wenn man
> den Definitionsbereich entsprechend wählt
und den Wertebereich. Eine quadr. Funktion $f: [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \to \mathbb [/mm] R$ hat immer ein Maximum oder ein Minimum. Damit auch jede quadr. Fkt.
$f: [mm] \mathbb [/mm] Q [mm] \to \mathbb [/mm] Q$
> bzw. sie
> entsprechend verschiebt: Durch Verschiebung entlang der
> x-Achse lässt sich die Surjektivitätsanforderung
> erfüllen
Ich wüßte nicht wie das gehen soll.
> und durch Verschiebung an der y-Achse die
> Anforderung: [mm]f:\IN \mapsto \IQ[/mm] gesamt:
Auch hier seh ich nicht wie das funktionieren soll. Die Verschiebung müsste doch unendlich sein, denn jede endliche Verschiebung um t macht aus [mm] $\mathbb [/mm] Q^+$ doch nur [mm] $\{q \in )-t, \infty[ | a \in \mathbb Q \}$ [/mm]
> f(n)= [mm](\bruch{1}{n}-n)^{2}-4n;[/mm]
> Liege ich mit meinem Lösungsversuch richtig?
Die Funktion ist weder surjektiv noch injektiv.
(Und sie ist auch nicht quadratisch in n)
> zu b)
> Sind hier Cantors Diagonalargumente hilfreich?
Ja, Genauso in der a)
>
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Um die Anforderungen an die gesuchte Funktion mal etwas umgangssprachlicher auszudrücken:
- Die Funktionskurve befindet sich nur rechts von der
y-Achse (wegen [mm] \IN).
[/mm]
- [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= \pm \infty; \limes_{n\rightarrow0}= \pm \infty [/mm] & Extrempunkte sollten nur lokal vorhanden sein, nicht aber global.
zusätzliche Frage:
Wenn nun wie hier eine surjektive Funktion gesucht ist, darf diese dann auch zusätzlich injektiv (also bijektiv) sein?
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> Um die Anforderungen an die gesuchte Funktion mal etwas
> umgangssprachlicher auszudrücken:
> - Die Funktionskurve befindet sich nur rechts von der
> y-Achse (wegen [mm]\IN).[/mm]
> - [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}= \pm \infty; \limes_{n\rightarrow0}= \pm \infty[/mm]
> & Extrempunkte sollten nur lokal vorhanden sein, nicht aber
> global.
Ist dir bewusst, dass das hier keine reelle Funktion ist?
Das hier [mm]\limes_{n\rightarrow 0}= \pm \infty[/mm] z.B. macht für eine Funktion mit Definitionmenge [mm] $\IN$, [/mm] auch bekannt unter dem Namen Folge, keinen Sinn.
> zusätzliche Frage:
> Wenn nun wie hier eine surjektive Funktion gesucht ist,
> darf diese dann auch zusätzlich injektiv (also bijektiv)
> sein?
Ja darf sie. Wieso sollte sie das nicht dürfen?
Aber wenn das die zusätzliche Frage ist, was ist dann die ursprüngliche Frage?
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