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| Aufgabe | | Wieso ist jede injektive lineare Abbildung R³ --> R³ auch surjektiv und umgekehrt? |
Hallo erstmal....schreibe MO Klausur und wäre für Hilfe dankbar!
Wenn f injektiv ist, heißt das, das kein Vektor auf den Nullvektor abgebildet wird, also:
Ke (f)=0 => dim Ke (f)=0
Die Dimensionsformel lautet: dim Ke(f)+dim Bi(f) = dim V
Weil dim Ke(f)=0 folgt: dim Bi(f)=V.
Hier komm ich nicht weiter, weil ich nicht weiß, was ich über die Surjektivität wissen sollte.
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> Wieso ist jede injektive lineare Abbildung R³ --> R³ auch
> surjektiv und umgekehrt?
> Wenn f injektiv ist, heißt das, das kein Vektor auf den
> Nullvektor abgebildet wird, also:
> Ke (f)=0 => dim Ke (f)=0
>
> Die Dimensionsformel lautet: dim Ke(f)+dim Bi(f) = dim V
> Weil dim Ke(f)=0 folgt: dim Bi(f)=V.
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> Hier komm ich nicht weiter, weil ich nicht weiß, was ich
> über die Surjektivität wissen sollte.
Hallo,
eigentlich steht schon alles da.
Du betrachtest die injektive lineare Abbildung [mm] f:V\to [/mm] W, [mm] V=W=\IR^3.
[/mm]
Du schreibst selbst: f injektiv ==> dim Kern f =0,
und Du kennst die Dimensionsformel, und Du folgerst Bi(f)=dim V=3.
Das Bild von f ist ja ein Unterraum von [mm] W=\IR^3, [/mm] und da dieses Bild dieselbe Dimension hat wie [mm] \IR^3, [/mm] müssen sie gleich sein.
Gruß v. Angela
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