Surjektivität, Injektivität < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | Geg. ist, dass g [mm] \circ [/mm] f surjektiv ist, wobei g und f lineare Abbildungen.
f ist injekiv.
Z.z: g ist surjektiv |
Hallo,
ich hab eine Frage bzgl. folgender Aufabe, weil ich mir unsicher bin, wie ich den Beweis machen soll.
Ich hab mir folgendes überlegt:
Wenn f injektiv ist, dann ist doch f auch surjektiv nach dem Dimensionssatz. Also ist f bijektiv. Dann hat es doch eine Umkehrabb. [mm] f^{-1}. [/mm] Sei nun h := g [mm] \circ [/mm] f, dann ist g = h [mm] \circ f^{-1} [/mm] oder?
Also ist g surjektiv, weil g Verknüpfung von 2 surjektiven Abbildungen ist.
Stimmt meine Überlegung so?
Ich hoffe, es kann mir jemand helfen.
Vielen Dank,
Moe
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Hallo,
man braucht nicht mal zu fordern, dass f injektiv ist. Man zeigt aus [mm]g\circ f[/mm] surjektiv, dass g surjektiv ist wie folgt:
Seien [mm]g:Y\to Z,f:X\to Y[/mm] Abbildungen und [mm]g\circ f[/mm] surjektiv. Sei nun [mm]z\in Z[/mm] beliebig.
[mm]g\circ f[/mm] surjektiv
[mm]\Rightarrow\exists x\in X: z=g\circ f(x)=g(f(x))[/mm] und
[mm]y:=f(x)\in Y[/mm], also g(y)=z. Damit ist gezeigt, dass jedes bel. [mm]z\in Z[/mm] durch die Abbildung g "getroffen" wird.
Alles klar?
Viele Grüße
Daniel
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