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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Fr 11.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Hallo Leute,
habe eine Frage, mit der ich nicht so ganz weiterkomme:
Die Funktionen f und g seien gegeben durch:
f: [mm] \IN \to \IN [/mm]
f(n)= [mm] \bruch{n+1}{2} [/mm] (der ganze Term steht noch in Floor Klammern (soll also abgerundet werden)
g: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ \times \IZ \times \IZ
[/mm]
g(a,b) = (ab, (a+1)b, [mm] a(b^2 [/mm] + 1)).
a.) ist f injektiv ?
b.) ist f surjektiv ?
c.) zeige, dass g injektiv ist
d.) zeige, dass g nicht surjektiv ist
Um a.) zu zeigen ist jaeinfach ein Gegenbeispiel zu finden, z.B. f(1)=f(2), womit die Injektivität widerlegt ist. Aber wie zeigt man, ob die Funktion f surjektiv ist?
Wie geht man bei c) und d) vor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Sa 12.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
 surjektiv bedeutet doch, dass jedes Element des Zielraumes ein Urbild haben muss, also musst du zu jedem n aus N ein n' finden (und angeben) , so dass f(n')=n
bei der d) dass etwas nicht surjektiv ist : einfach ein element finden, dass nicht getroffen wird.
bei der c) dann entsprechend allgemein beweisen, dass unterschiedliche Paare (a,b) und (a',b') auch unterschiedliche Bilder haben.
ODER, was äquivalent ist : wenn g(a,b)=g(a',b') dann muss daraus folgen, dass (a,b)=(a',b')
Versuche dich doch mal daran und schreibe deine Ansätze hier auf.
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Wie genau stelle ich denn eine Injektivität, bzw. eine Surjektivität (oder auch das gegenteil) fest bei einer Funktion von
g: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ \times \IZ \times \IZ
[/mm]
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Grüße!
Nun, es geht genauso, wie DaMenge es gesagt hast... die Mengen spielen keine Rolle, Injektivität und Surjektivität weist man immer gleich nach!
Eine Abbildung $f: X [mm] \to [/mm] Y$ heißt INJEKTIV, falls für $x,x' [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x) = f(x')$ folgt: $x = x'$. (D.h. zwei verschiedene Elemente aus $X$ werden auf zwei verschiedene Elemente von $Y$ abgebildet).
Und die Abbildung heißt SURJEKTIV, falls zu jedem $y [mm] \in [/mm] Y$ ein $x [mm] \in [/mm] X$ existiert mit $f(x) = y$ (d.h. jedes Element aus $Y$ wird getroffen).
Im vorliegenden Beispiel: Für die Injektivität nimmst Du Dir zwei Elemente $(a,b)$ bzw. $(a',b')$ in [mm] $\IZ \times \IZ$, [/mm] so dass $g(a,b) = g(a',b')$. Dann erhältst Du drei Gleichungen mit $a,b,a'$ und $b'$. Wenn Du daraus nun folgern kannst, dass $a = a'$ und $b = b'$ sein muß, dann ist die Abbildung injektiv.
Für die Surjektivität nimmst Du Dir ein BELIEBIGES Element $(a,b,c) [mm] \in \IZ \times \IZ \times \IZ$ [/mm] und mußt zeigen, dass dieses Element getroffen wird, d.h. Du mußt ein $(x,y) [mm] \in \IZ \times \IZ$ [/mm] konstruieren mit $g(x,y) = (a,b,c)$. Falls dies nicht geht, reicht ein konkretes Gegenbeispiel.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Sa 12.02.2005 | | Autor: | Mukkular |
Ja, alles klar, meine einzige Schwierigkeit war das ternäre kartesiche Produkt, aber da man dieses wie auch sonst behandelt ...
Mukkular
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