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Surjektivität einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 So 24.06.2012
Autor: miraculics

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die folgende Abbildung f : R → R surjektiv, injektiv oder bijektiv ist: f(x) = [mm] x\*sinx [/mm]

hi an alle,
ich hab vor zum nächsten semester mit dem mathestudium anzufangen und wollt mich schon mal etwas vorbereiten und hätte gleich mal eine frage zu der aufgabe oben:

injektivität:
Lässt sich direkt widerlegen mit der symmetrie der funktion ?
es gilt dann ja f(x)=f(-x).. mit dem beispiel: [mm] f(-\pi)=f(\pi) [/mm]

surjektivität:
da hab ich probleme das formal zu zeigen .. ich muss ja ein x finden für das gilt f(x)=y mit [mm] y\in \IR [/mm]
es gilt ja das sin(x) periodisch verläuft und [mm] sin(x)\in[-1;1]. [/mm]
kann man dann sagen [mm] a\in[-1;1] [/mm] sodass gilt: x*a=y ?
dann würden ja alle y werte erreicht werden (lineare funktion)..
das problem dabei ist aber irgendwie das x und a in beziehung stehen, nämlich ist dann ja [mm] x=sin^{-1}(a). [/mm] Also würde ja folgen: [mm] sin^{-1}(a)\*sin(a)=y [/mm] und hier werden ja nicht alle y werte erreicht ! ..
oder begründet man das einfach so, dass f(x) ein produkt von zwei funktionen ist und eine davon bijektiv ist .. nämich x mit f(x)=y ?

wäre dankbar für tipps :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Surjektivität einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 So 24.06.2012
Autor: Teufel

Hi!

Die Injektivität ist ok.

Für die Surjektivität würde ich spontan den Zwischenwertsatz verwenden, weil f ja stetig ist. Sagen wir erst einmal $y>0$. Dann gilt für [mm] $x_0=0$ $f(x_0)=00$ [/mm] zu bestimmen, für den [mm] $f(x_1)>y$ [/mm] gilt.

Bezug
                
Bezug
Surjektivität einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 So 24.06.2012
Autor: miraculics

danke für die antwort !
ich hab die aufgabe allerdings aus einem matheskript und hab da glaub ich nichts von einem zwischenwertsatz gelesen .. geht das vielleicht noch irgendwie anders ?

Bezug
                        
Bezug
Surjektivität einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 So 24.06.2012
Autor: Teufel

Welches Skript nutzt du denn? Ist das zufällig online gestellt? Falls nicht: Steht da vielleicht was von einem Nullstellensatz? Damit funktioniert es genau so. Diese Sätze kommen auch normalerweise relativ früh dran, deswegen wundert es mich, dass sie nicht erwähnt waren.

Bezug
                                
Bezug
Surjektivität einer Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 24.06.2012
Autor: miraculics

hi

ja das mit dem zwischenwertsatz hab ich wohl überlesen, weil ich direkt zu den aufgaben gegangen bin ^^
ok ich hab mir da mal was überlegt:

also sei y > 0 .. für [mm] x_{0}=0 [/mm] gilt [mm] f(x_{0})=0 [/mm] < y

wenn ich y = [mm] x_{k} [/mm] definiere, mit [mm] x_{k}=\bruch{\pi}{2}+2k\pi (k\in \IZ), [/mm] dann gilt:
[mm] f(x_{k})=x_{k}*sin(x_{k})=x_{k}=y [/mm] nach definition.
kann ich daraus schließen, dass alle y werte erreicht werden ?

danke schon mal für eine antwort :)


Bezug
                                        
Bezug
Surjektivität einer Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 24.06.2012
Autor: Teufel

Hi!

Nein, das sagt dir leider nur, dass du alle y erreichen kannst, die diese bestimmte Form haben! y=1 kannst du z.B. nicht in dieser Form darstellen.
Also die Logik ist folgende: Wenn man erstmal y>0 annimmt, dann will man 2 x-Werte [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] finden, sodass [mm] f(x_0)y [/mm] gilt.

Du könntest als [mm] x_1 [/mm] z.B. die kleinste Zahl wählen, die größer als y und von der Form deiner [mm] x_k [/mm] ist. Du kannst ja nachrechnen, dass dann [mm] f(x_1)>y [/mm] gilt!

Und analog kanst du das dann auch für y<0 machen. Und y=0 hast du schon erledigt wegen f(0)=0. Man kann alle 3 Fälle sicher auch in einem Rutsch irgendwie machen, vielleicht findest du ja noch einen anderen Ansatz. :) Aber mit dem geht es auf alle Fälle.


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