Surjektivität einer Funktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | | Wie beweist man beispielsweise, dass f: R->R mit f(x):= [mm] x^3 [/mm] surjektiv ist? |
Zu zeigen ist ja: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in \mathbb{R} \exists [/mm] x [mm] \in \mathbb{R} [/mm] : f(x)=y
Meine Frage ist daher: Wie wird sowas in der Regel gemacht?
Geht:
[mm] y=x^3
[/mm]
[mm] x=y^{1/3} [/mm]
[mm] f(y^{1/3} )=(y^{1/3} )^3=y [/mm]
Ein Gegenbeispiel:
[mm] y=x^2 [/mm]
[mm] |x|=\sqrt{y}
[/mm]
für x>0 [mm] f(y)=(\sqrt{y})^2=y
[/mm]
für x<0 f(y) ist nicht definiert, daher nicht auf R surjektiv...
Ich bin mir aber unsicher ob das so passt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
das ist mit diesen Beweisen immer so ne Sache, weil es sehr stark davon abhängt, was verwendet werden darf. Und das hängt wiederum vom Aufbau der Vorlesung ab.
Bei [mm] $x^3$ [/mm] würde ich kurz und knapp darauf verweisen, daß
1. [mm] $x^3$ [/mm] stetig ist
2. [mm] $x^3\to \pm\infty$, [/mm] für [mm] $x\to\pm\infty$
[/mm]
weil vom Gefühl her für die Existenz von [mm] $x^{1/3}$ [/mm] auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] die Surjektivität schon verwendet wurde.
Grundsätzlich kannst Du die Surjektivität mit Stetigkeit und Grenzwerten in die Unendlichkeit immer zeigen. Sobald die Funktion aus mehreren stetigen Stücken besteht, und mit Grenzwerten gegen Zahlen muß man dagegen vorsichtig sein:
$f:\ [mm] \IR\setminus\{0\}\to\IR;\ x\mapsto \frac1x$
[/mm]
ist nicht surjektiv
$f:\ [mm] \IR\to\IR;\ x\mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } x=0 \\ \frac1x,& \text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
hingegen schon. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Klerk91 |
okay danke, das macht Sinn..
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