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Surjektivität einer Gruppe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 So 15.11.2009
Autor: Soinapret

Aufgabe
Sei (G, *) eine Gruppe und [mm] S_{G} [/mm] die symmetrische Gruppe zu der Menge G. Für g [mm] \in [/mm] G sei
[mm] \Phi_{g}: [/mm] G [mm] \to [/mm] G definiert durch [mm] \Phi_{g}(x) [/mm] = [mm] gxg^{-1} [/mm] (x [mm] \in [/mm] G)
Zeigen Sie, dass jedes [mm] \psi_{g} [/mm] bijektiv ist (und damit in [mm] S_{G} [/mm] liegt) Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung [mm] \Phi: [/mm] G -> [mm] S_{G}, [/mm] g [mm] \to \Phi_{g} [/mm] ( g [mm] \in [/mm] G) ein Gruppenhomomorphismus ist.

Hallo,
ich habe bereits die Injektivität und auch schon den Gruppenhomomorphismus gezeigt. Mir fehlt noch die Surjektivität zu zeigen. Wie geh ich denn da vor?

Definition: Falls f(X) = Y, d.h. falls es zu jedem y [mm] \in [/mm] Y ein x [mm] \in [/mm] X gibt mit y = f(x)

Nun steh ich allerdings aufm Schlauch, da mir hier jeder leider jeder Anhaltspunkt fehlt.
Hat jemand eine Idee, wie ich hier konkret vorgehen kann?
Danke schonmal.

        
Bezug
Surjektivität einer Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 So 15.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Sei (G, *) eine Gruppe und [mm]S_{G}[/mm] die symmetrische Gruppe zu
> der Menge G. Für g [mm]\in[/mm] G sei
>  [mm]\Phi_{g}:[/mm] G [mm]\to[/mm] G definiert durch [mm]\Phi_{g}(x)[/mm] = [mm]gxg^{-1}[/mm]
> (x [mm]\in[/mm] G)
>  Zeigen Sie, dass jedes [mm]\psi_{g}[/mm] bijektiv ist (und damit in
> [mm]S_{G}[/mm] liegt) Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung [mm]\Phi:[/mm] G
> -> [mm]S_{G},[/mm] g [mm]\to \Phi_{g}[/mm] ( g [mm]\in[/mm] G) ein
> Gruppenhomomorphismus ist.
>
>  ich habe bereits die Injektivität und auch schon den
> Gruppenhomomorphismus gezeigt. Mir fehlt noch die
> Surjektivität zu zeigen. Wie geh ich denn da vor?

Im Prinzip genauso wie bei der Injektivitaet.

> Definition: Falls f(X) = Y, d.h. falls es zu jedem y [mm]\in[/mm] Y
> ein x [mm]\in[/mm] X gibt mit y = f(x)
>  
> Nun steh ich allerdings aufm Schlauch, da mir hier jeder
> leider jeder Anhaltspunkt fehlt.

Nun, nimm dir ein $y [mm] \in [/mm] G$ und finde ein $x [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $\psi_g(x) [/mm] = y$. Schreib das doch einfach mal aus und forme um.

LG Felix


Bezug
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