Surjektivität von Funktionen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 10.11.2006 | | Autor: | buchmann |
| Aufgabe | Es sei f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung.
Zeigen Sie, dass f genau dann surjektiv ist, wenn eine Abbildung g: B [mm] \to [/mm] A existiert mit
f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{B}
[/mm]
Welche Eigenschaft hat die Abbildung g? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi, also mein Ansatz ist:
Sei f surjektiv. Sei y [mm] \varepsilon [/mm] B. Dann muss gelten: y [mm] \varepsilon [/mm] f(A) .
Weil f surjektiv sein soll, folgt weiter:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \varepsilon [/mm] B [mm] \exists [/mm] x [mm] \varepsilon [/mm] A : f(x)=y
g(y):=x
Dann gilt f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{B}, [/mm] weil für alle y [mm] \varepsilon [/mm] B gilt:
f(g(y)) = [mm] f(x)=y=id_{B}
[/mm]
So nun meine Frage: Habe ich jetzt gezeigt, dass f surjektiv ist, wenn es die im Aufgabentext beschriebene Abbildung g gibt? Oder hab ich es andersrum oder gar nicht bewiesen?
Blicke da gerade nicht mehr durch : C
thx for help
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Fr 10.11.2006 | | Autor: | maybe. |
hallo,
also erstmal stör ich mich bissel an:
f(g(y)) = f(x)= y [mm] =id_{B} [/mm]
wenn dann muss es heissen. [mm] f(g(y))=...=id_{B}(y) [/mm] sonst steht da ja y [mm] =id_{B}.
[/mm]
ansonsten ist dein beweis aber richtig. du hast aber bis jetzt nur die eine richtung gezeigt.
das "genau dann wenn" bedeutet ja dass hin und rückrichtung gelten
du hast jetzt gezeigt:
f surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Abbildung g: B $ [mm] \to [/mm] $ A existiert mit
f $ [mm] \circ [/mm] $ g = $ [mm] id_{B} [/mm] $
es fehlt aber noch:
Abbildung g: B $ [mm] \to [/mm] $ A existiert mit
f $ [mm] \circ [/mm] $ g = $ [mm] id_{B} [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] f surjektiv
gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 11.11.2006 | | Autor: | buchmann |
ok, wenn ich den beweis dann weiterführe müsste das ja so aussehen:
Es gibt ein g: B [mm] \to [/mm] A mit der Eigenschaft f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_{B} [/mm] . Also ist:
f(x)=f(g(y))=y
Also f(A)=B und damit ist f surjektiv.
Und die Eigenschaft von g: g ist die umkehrfunktion von f??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 So 12.11.2006 | | Autor: | maybe. |
ja genau. der beweis ist m.E. richtig und g die umkehrfunktion von f!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 12.11.2006 | | Autor: | buchmann |
Ok,
und g wäre dann ja auch surjektiv, oder?
P.S.: Was heisst m.E. ?
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> Ok,
> und g wäre dann ja auch surjektiv, oder?
Nein.
Schau Dir dies an:
A:={1,2} B:={3}
f:A--->B mit f(1)=3 und f(2)=3.
Es ist f offensichtlich surjektiv,
und mit g:B--->A mit g(3)=2 hat man eine Funktion g, die das geforderte leistet, denn es ist f [mm] \circ [/mm] g (3)=3, also f [mm] \circ g=id_B.
[/mm]
Mitnichten ist aber g surjektiv!
> P.S.: Was heisst m.E. ?
Meines Erachtens.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mo 13.11.2006 | | Autor: | buchmann |
ah ja ok danke :- )
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