Surjektivität von Vektorräumen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Seien a, b [mm] \in \IR, [/mm] a < b.
Auf dem Vektorraum V = [mm] C^{0}([a, [/mm] b]) betrachte man die Abbildung
[mm] \alpha [/mm] : V [mm] \to [/mm] V, f [mm] \mapsto \integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
mit x [mm] \in [/mm] ([a,b])
1. Zeigen Sie: ist linear, injektiv, aber nicht surjektiv.
|
| Aufgabe 2 | | 2. Folgern Sie: V ist unendlichdimensional. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also das [mm] \alpha [/mm] linear ist:
(a) [mm] \alpha(f_{1}+f_{2})=\integral_{a}^{x}{f_{1}(t)+f_{2}(t) dt}= \integral_{a}^{x}{f_{1}(t) dt}+\integral_{a}^{x}{f_{2}(t) dt}= [/mm]
[mm] \alpha(f_{1})+\alpha(f_{2})
[/mm]
(b) [mm] \alpha(k*f)=\integral_{a}^{x}{k*f(t) dt}=k*\integral_{a}^{x}{f(t) dt}=k*\alpha(f)
[/mm]
Aus (a) und (b) folgt: [mm] \alpha [/mm] ist linear
Injektivität:
[mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}=0 \forall x\in \IR [/mm] , x>a [mm] \Rightarrow [/mm] f(t)=0 , denn sonst schließt der Graf von [mm] \alpha [/mm] immer eine Fläche ein. Dann wähle man x so, dass der Betrag der Fläche oberhalb der x-Achse [mm] \not= [/mm] dem Betrag unterhalb der x-Achse ist [mm] \Rightarrow \integral_{a}^{x}{f(t) dt}\not=0 [/mm] und damit: Ker [mm] \alpha [/mm] = {0} [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] ist injektiv
Surjektivität:
[mm] \alpha [/mm] surjektiv [mm] \gdw [/mm] Lin [mm] (v_{1},...,v_{n})=V
[/mm]
Wie kann ich das nun zeigen? :S
Also die [mm] v_{i} [/mm] sind ja alle linear unabhängig, wenn ich das richtig verstanden habe. Dann muss ich also zeigen, dass diese nicht linear unabhängig voneinander sind, um nicht Surjektivität zu zeigen?
Ist das so richtig?
und wenn ja, wie genau kann ich das zeigen?
zu 2.
Wir wissen, dass [mm] x^n \in C^{n}([a,b]) \subset C^{0}([a,b])n \in \IN
[/mm]
Sei W die Menge der Polynome mit [mm] n\le [/mm] m mit m [mm] \in \IN
[/mm]
Damit gilt: dim [mm] W\le [/mm] dim V
Für W gilt:
[mm] E=(1,x,x^{2},...x^{n})
[/mm]
und damit Lin E= [mm] (a_{0},a_{1}x,a_{2}x^{2},...,a_{n}x^{n})=Polynome [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] m
Damit hat die Basis m+1 Elemente.
dim W= m+1 | [mm] m\in \IN
[/mm]
Da m eine beliebige natürliche Zahl ist und diese nicht nach oben beschränkt sind [mm] \Rightarrow [/mm] dim W= [mm] \infty
[/mm]
Da aber dim W [mm] \le [/mm] dim V [mm] \Rightarrow [/mm] dim V [mm] \ge \infty [/mm] und damit ist dim V unendlich [mm] \Rightarrow [/mm] V ist unendlich dimensional.
Ist das so in Ordnung?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also das [mm]\alpha[/mm] linear ist:
>
> (a) [mm]\alpha(f_{1}+f_{2})=\integral_{a}^{x}{f_{1}(t)+f_{2}(t) dt}= \integral_{a}^{x}{f_{1}(t) dt}+\integral_{a}^{x}{f_{2}(t) dt}=[/mm]
> [mm]\alpha(f_{1})+\alpha(f_{2})[/mm]
>
> (b) [mm]\alpha(k*f)=\integral_{a}^{x}{k*f(t) dt}=k*\integral_{a}^{x}{f(t) dt}=k*\alpha(f)[/mm]
Richtig, aber zur Notation: benutze [mm][mm] \alpha(f_{1}+f_{2})(x)[/m], [/mm] dann ist es formal richtig.
> Injektivität:
>
> [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}=0 \forall x\in \IR[/mm] , x>a
x>a ist nach Def. richtig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(t)=0 ,
Und dies Implikation ist zu zeigen.
> denn sonst schließt der Graf von
> [mm]\alpha[/mm]
der von f?!
> immer eine Fläche ein. Dann wähle man x so, dass
> der Betrag der Fläche oberhalb der x-Achse [mm]\not=[/mm] dem
> Betrag unterhalb der x-Achse ist
Und wieso geht das? Wenn f nicht stetig ist, ist die Aussage nämlich auch einfach falsch.
> [mm]\Rightarrow \integral_{a}^{x}{f(t) dt}\not=0[/mm]
> und damit: Ker [mm]\alpha[/mm] = {0} [mm]\Rightarrow \alpha[/mm] ist
> injektiv
Du musst die Stetigkeit von f besser herausstellen!
> Surjektivität:
>
> [mm]\alpha[/mm] surjektiv [mm]\gdw[/mm] Lin [mm](v_{1},...,v_{n})=V[/mm]
Bitte was? Was sind die [m]v_i8/m]? Wo kommen die her?
> Wie kann ich das nun zeigen? :S
Gar nicht, weil es falsch ist? Du sollst zeigen, es ist nicht surjektiv - finde also eine Funktion g, die nicht im Bild von [m]\alpha[/m] liegt.
> Also die [mm]v_{i}[/mm] sind ja alle linear unabhängig, wenn ich
> das richtig verstanden habe. Dann muss ich also zeigen,
> dass diese nicht linear unabhängig voneinander sind, um
> nicht Surjektivität zu zeigen?
Bitte was? Nochmal - [m]v_i[/m]?
> zu 2.
[schnipp]
Öhm. Naja. Du sollst das aus der 1. folgern und nicht was ganz neues machen. Wir haben eine injektiven Hom. des Raumes in sich. Wäre der endlich-dim, wäre er auch ... aber ist er nicht. Also ist der Raum nicht endlich.dim.
SEcki
|
|
|
| |
|
f ist stetig, da f [mm] \in C^{0}([a,b]) [/mm] ; [mm] C^{0}([a,b]) [/mm] bezeichnet die Menge aller stetiger Funktionen im Intervall [a,b]
Ich muss also eine Funktion g finden, deren Aufleitung unstetig ist?
Vergiss das mit den [mm] v_{i} [/mm] einfach wieder...
Hab da wohl etwas durcheinander gebracht^^
zu 2. das habe ich jetzt verstanden danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich muss also eine Funktion g finden, deren Aufleitung
> unstetig ist?
Nein. Wie kommst du darauf? Du sollst eine Funktion finden, die nicht im Bild deiner Abbildung ist. Mal als Tip: was ist [m](\alpha(g))(0)[/m] für beliebiges g?
SEcki
|
|
|
| |
|
Also [mm] (\alpha(g))(0)= (\integral_{a}^{x}{g(t) dt})(0)=\integral_{a}^{x}{f(0) d0}=\integral_{a}^{x}{0}
[/mm]
und das ist nicht definiert und liegt deshalb nicht im Bild? :S
Ich habe in der Schule die Integralrechnung noch nicht behandelt, deswegen versteh ich nicht ganz, was ich machen soll :-/
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also [mm](\alpha(g))(0)= (\integral_{a}^{x}{g(t) dt})(0)=\integral_{a}^{x}{f(0) d0}=\integral_{a}^{x}{0}[/mm]
Öhm, ich meinte eher [mm][mm] (\alpha(g))(a)[/m], [/mm] sorry. Also was ist [m]\integral_{a}^{a}{g(t) dt}[/m]?
> und das ist nicht definiert und liegt deshalb nicht im
> Bild? :S
Nun ja, was nicht definiertes darf man nicht benutzen, ich meinte ja auch was anderes ...
> Ich habe in der Schule die Integralrechnung noch nicht
> behandelt, deswegen versteh ich nicht ganz, was ich machen
> soll :-/
Woher kommt die Aufgabe denn? Schule? Integralrechnung? Du verwirrst mich =)
SEcki
|
|
|
| |
|
Also ich bin grade in der 12 Stufe eines Gymnasium und nehme am Projekt "Schüler an der Universität" teil. Deswegen hab ich da ein paar Wissenslücken hinlänglich der Oberstufenmathematik ^^
Die Aufgabe ist also aus der Uni. :P
Das Integral: [mm] \integral_{a}^{a}{g(t) dt}=0
[/mm]
Aber warum liegt das nun nicht im Bild von [mm] \alpha?
[/mm]
Weil a>0 gewählt werden kann und damit 0 [mm] \not\in C^{0}([a,b])?
[/mm]
oder wie genau muss man da argumentieren? :-/
|
|
|
| |
|
Huhu,
also halten wir fest:
Du hast den Vektorraum [mm] $C^0([a,b])$ [/mm] und hast die Funktion
$f [mm] \mapsto \integral_{a}^{x}{f(t) dt} [/mm] $
Am Ende kommt auf jedenfall eine stetige Funktion raus (sogar noch mehr, nämlich was?), d.h. die Funktion bildet auf jedenfall in die stetigen Funktionen ab.
Du sollst nun zeigen, dass die Abbildung nicht surjektiv ist.
Was heisst das für eine Abbildung?
Jetzt schau dir nochmal an, was für Funktionen als Bild der obigen Funktion rauskommen und welche Eigenschaften sie haben.
Nun bedenke: Du befindest dich im Raum der stetigen Funktionen und alle Bilder der Funktion haben aber die Eigenschaft, dass sie........ (hier machst du weiter).
Triffst du also alle stetigen Funktionen oder gibt es welche, die durch obige Funktion NIE getroffen werden.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Die Bilder der stetigen Funktionen haben neben der Eigenschaft, dass sie stetig sind, die Eigenschaft, dass Sie differenzierbar sind.
Da aber [mm] C^{0}([a,b]) \to C^{0}([a,b]) [/mm] gilt.
Enthält die Zielmenge auch Funktionen, die zwar stetig aber nicht differenzierbar sind und diese werden nicht von der Abbildung [mm] \alpha [/mm] getroffen.
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 23.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Die Bilder der stetigen Funktionen haben neben der
> Eigenschaft, dass sie stetig sind, die Eigenschaft, dass
> Sie differenzierbar sind.
Öhm, was weißt du denn über das Integrieren? Scheint ja einiges da zu sein!
> Da aber [mm]C^{0}([a,b]) \to C^{0}([a,b])[/mm] gilt.
>
> Enthält die Zielmenge auch Funktionen, die zwar stetig
> aber nicht differenzierbar sind und diese werden nicht von
> der Abbildung [mm]\alpha[/mm] getroffen.
>
> Ist das so richtig?
Ja, aber - Kanonen und Spatzen. Worauf ich dich stupsen wollte: alle Funktionen im Bild von [m]\alpha[/m] haben die Eigenschaft, dass sie im Punkt a gleich 0 sind ...
SEcki
|
|
|
| |
|
"Öhm. Naja. Du sollst das aus der 1. folgern und nicht was ganz neues machen. Wir haben eine injektiven Hom. des Raumes in sich. Wäre der endlich-dim, wäre er auch ... aber ist er nicht. Also ist der Raum nicht endlich.dim. "
Hab hier doch eine Frage zu^^
Also... wenn der Raum endlich dimensional wäre, dann wäre er bijektiv.
Da er aber nur injektiv, aber nicht surjektiv ist, ist er nicht endlich dimensional.
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 So 24.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also... wenn der Raum endlich dimensional wäre, dann wäre
> er bijektiv.
Nein. Bijektiv sind Abbildungen, nicht Räume.
> Da er aber nur injektiv, aber nicht surjektiv ist, ist er
> nicht endlich dimensional.
>
> Ist das so richtig?
Nein. Es gibt einen Satz, dass injektive, lineare Abbildungen eines endlich-dimensionalen Raumes in sich auch surjektiv sein müssen (gilt auch surjektiv, dann injektiv).
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Nein. Es gibt einen Satz, dass injektive, lineare
> Abbildungen eines endlich-dimensionalen Raumes in sich auch
> surjektiv sein müssen (gilt auch surjektiv, dann
> injektiv).
der Satz gilt im Übrigen auch für nicht-lineare Abbildungen 
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> > Nein. Es gibt einen Satz, dass injektive, lineare
> > Abbildungen eines endlich-dimensionalen Raumes in sich auch
> > surjektiv sein müssen (gilt auch surjektiv, dann
> > injektiv).
>
> der Satz gilt im Übrigen auch für nicht-lineare
> Abbildungen
Das ist mir neu !
Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] def. durch $f(x) = arctan(x)$ .
Dann ist f injektiv, aber nicht surjektiv
FRED
>
> MFG,
> Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:50 Mo 25.01.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hm
man sollte endlich-dimensional nicht mit endlich verwechseln *hust*
Du hast natürlich recht .....
MFG,
Gono.
|
|
|
|
