Surjektivität zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Mo 11.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Sei n ∈ N und f : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} eine Abbildung. Zeigen Sie, dass gilt: f ist surjektiv, falls f(k + 1) > f(k) für alle k = 1, . . . , n − 1 |
Hallo zusammen,
Ich bin folgendermaßen an diese Aufgabe herangegangen:
Surjektivität, bedeutet, dass der komplette Bildbereich von f (hier: 1,...,n) "getroffen" bzw.: als Funktionswert angenommen wird. Also dass gilt: Bild = Bildbereich bzw.: für f: N [mm] \rightarrow [/mm] M : f(N) = M. Da hier N=M , also f:M [mm] \rightarrow [/mm] M (M=1,...,n) gilt: f(M) = M => [mm] f(m_1) [/mm] = [mm] m_1 [/mm] , [mm] f(m_2) [/mm] = [mm] m_2 [/mm] usw., [mm] f(m_n) =m_n [/mm] oder? => f ist genau dann surjektiv, wenn f injektiv ist, da falls f injektiv ja gilt: aus [mm] f(m_1) [/mm] = n und [mm] f(m_2) [/mm] = n folgt : [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] und das ist hier ja der Fall, da jedem Element eindeutig (genau 1) anderes zugeordnet wird. Also könnte ich hier statt der Surjektivität auch Injektivität bzw., besser gesagt: durch die Injektivität die Surjektivität zeigen, oder?
So jetzt die Bedingung f(k + 1) > f(k) macht ja nichts anderes, als eine totale Ordnungsrelation auf die Menge der Funktionswerte bzw. auf das Bild zu legen. Und da das Ganze für alle Indexe 1 bis (n-1) gilt, werden ja ALLE Elemente 1 bis n des Bildbereichs getroffen ( 1."Vergleich: f(2) > f(1), letzter Vergleich: f(n-1+1)=f(n) > f(n-1) ). Die sind auch alle unterschiedlich, weil es ja eine TOTALE ordnungsrelation ist, d.h. kein größer gleich Zeichen gilt und somit keine 2 Elemente des Bildes gleich sind. Und nichts anderes heißt ja Surjektivität. Also habe ich es damit schon bewiesen, oder? ich habe ehrlich gesagt sogar viel mehr geschrieben als ich eigentlich machen bzw. denken würde^^. Eigentlich steht es ja schn fast da. Aber mein Problem ist - wie immer - wie kann ich das mathematsicher bzw. mit Zeichen hinschreiben??
Danke schonmal 
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Hiho,
ja, du hast eigentlich alles gesagt:
Es gilt $f(1) < f(2) < .... < f(n)$
Da "<" transitiv ist, gilt zwischen zwei Elementen $f(i)$ und $f(j)$ immer entweder $f(i) < f(j)$ oder $f(j) < f(i)$ und damit nie "="
d.h. f ist injektiv und das ist gleichbedeutend auf endlichen Mengen gleicher Mächtigkeit mit der Surjektivität :)
MFG,
Gono.
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