Surjektivität zeigen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich die Surjektivität einer Funktion zeigen soll. Zuerst mal die Frage: Ich kann ich überhaupt Surjektivität zeigen? Mir ist klar, was Surjektivität ist, aber ich habe keine Idee, wie ich sowas zeigen kann. Hat da allgemein jemand einen Tipp?
Hier speziell habe ich eine Funktion f: [mm] \IR^n\rightarrow \IR^n [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] ||f(x)-f(y)||\geq c\cdot||x-y|| [/mm] mit c>0 (ich glaube, so eine Abbildung nennt man expansiv, oder?). Ich habe schon rausgefunden, dass das eine abgeschlossene Abbildung und ein lokaler Diffeomorph. ist. Außerdem habe ich die Injektivität hinbekommen. Mir fehlt jetzt noch die Surjektivität. Kann mir dazu jemand helfen?
Bekomme ich dann eigentlich sofort raus, dass auch gilt [mm] f\in Diff(\IR^n,\IR^n)? [/mm] Ich glaube nicht, oder? Denn schließlich ist f ja erst mal bloß ein lokaler Diff.
Danke! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:18 Fr 01.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
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> ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich die Surjektivität
> einer Funktion zeigen soll. Zuerst mal die Frage: Ich kann
> ich überhaupt Surjektivität zeigen? Mir ist klar, was
> Surjektivität ist, aber ich habe keine Idee, wie ich sowas
> zeigen kann. Hat da allgemein jemand einen Tipp?
Wie wäre es mit einem Widerspruchsbeweis?
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> Hier speziell habe ich eine Funktion f: [mm]\IR^n\rightarrow \IR^n[/mm]
> stetig differenzierbar mit [mm]||f(x)-f(y)||\geq c\cdot||x-y||[/mm]
> mit c>0 (ich glaube, so eine Abbildung nennt man expansiv,
> oder?). Ich habe schon rausgefunden, dass das eine
> abgeschlossene Abbildung und ein lokaler Diffeomorph. ist.
> Außerdem habe ich die Injektivität hinbekommen. Mir fehlt
> jetzt noch die Surjektivität. Kann mir dazu jemand
> helfen?
> Bekomme ich dann eigentlich sofort raus, dass auch gilt
> [mm]f\in Diff(\IR^n,\IR^n)?[/mm] Ich glaube nicht, oder? Denn
> schließlich ist f ja erst mal bloß ein lokaler Diff.
Reicht das nicht schon? Da f eine abgeschlossene Abbildung ist, ist das Bild [mm] $f(\IR^n)$ [/mm] abgeschlossen. Ist [mm] $f(\IR^n)\not= \IR^n$, [/mm] so nimmst du dir ein [mm] $z\in\IR^n$, [/mm] sodass [mm] $f(z)\in\partial (f(\IR^n))$, [/mm] also auf dem Rand von [mm] $f(\IR^n)$ [/mm] liegt. Nun ist f ein lokaler Diffeomorphismus, das heisst es gibt eine offene Umgebung von z, in der f bijektiv ist.
Viele Grüße
Rainer
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> > Hier speziell habe ich eine Funktion f: [mm]\IR^n\rightarrow \IR^n[/mm]
> > stetig differenzierbar mit [mm]||f(x)-f(y)||\geq c\cdot||x-y||[/mm]
> > mit c>0 (ich glaube, so eine Abbildung nennt man expansiv,
> > oder?). Ich habe schon rausgefunden, dass das eine
> > abgeschlossene Abbildung und ein lokaler Diffeomorph. ist.
> > Außerdem habe ich die Injektivität hinbekommen. Mir fehlt
> > jetzt noch die Surjektivität. Kann mir dazu jemand
> > helfen?
> > Bekomme ich dann eigentlich sofort raus, dass auch gilt
> > [mm]f\in Diff(\IR^n,\IR^n)?[/mm] Ich glaube nicht, oder? Denn
> > schließlich ist f ja erst mal bloß ein lokaler Diff.
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> Reicht das nicht schon? Da f eine abgeschlossene Abbildung
> ist, ist das Bild [mm]f(\IR^n)[/mm] abgeschlossen. Ist [mm]f(\IR^n)\not= \IR^n[/mm],
> so nimmst du dir ein [mm]z\in\IR^n[/mm], sodass [mm]f(z)\in\partial (f(\IR^n))[/mm],
> also auf dem Rand von [mm]f(\IR^n)[/mm] liegt. Nun ist f ein lokaler
> Diffeomorphismus, das heisst es gibt eine offene Umgebung
> von z, in der f bijektiv ist.
>
> Viele Grüße
> Rainer
Danke! Das habe ich jetzt auch verstanden :)
Aber reicht das denn auch schon, um sagen zu können, dass [mm] f\in Diff(\IR^n,\IR^n? f\in Diff(\IR^n,\IR^n) [/mm] meint doch, dass f bijektiv und stetig differenzierbar ist und die (globale) Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.
Die globale Umkehrabbildung bekomme ich durch die Bijektivität und die Stetigkeit der Umkehrabbildung aus der Abgeschlossenheit der Abbildung. Aber wie bekomme ich die Differenzierbarkeit? Kann ich einfach sagen: f ist lokal diffeomorph, also ex. lokal eine stetig differenzierbare Umkehrabbildung. Da diese lokale Umkehrabbildung die globale Umkehrabbildung sein muss, ist die globale Umkehrabbildung stetig differenzierbar.
Irgendwie ist das zwar einleuchtend, aber ohne "Formeln" glaube ich das irgendwie nicht 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Mo 04.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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